高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：集合與映射專題復(fù)習(xí)指導(dǎo)

　　天津市第四十二中學(xué)張鼎言

　　一、集合與簡易邏輯

　　復(fù)習(xí)導(dǎo)引：這部分高考題一般以選擇題與填空題出現(xiàn)。多數(shù)題并不是以集合內(nèi)容為載體，只是用了集合的表示方法和簡單的交、并、補運算。這部分題其內(nèi)容的載體涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、排列組合等知識。復(fù)習(xí)這一部分特別請讀者注意第1題，闡述了如何審題，第3、5題的思考方法。簡易邏輯部分應(yīng)把目光集中到“充要條件”上。

　　1.設(shè)集合M={1,2,3,4,5,6},S1、S2、…Sk都是M的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的Si={ai,bi},Sj={aj,bj},(i≠j,i、j∈{1，2，3，…k})都有min{-,-}≠min{-,-}(min{x,y}表示兩個數(shù)x、y中的較小者)。則k的最大值是()

　　A.10B.11

　　C.12D.13

　　分析：審題是解題的源頭，數(shù)學(xué)審題訓(xùn)練是對數(shù)學(xué)語言不斷加深理解的過程。以本題為例min{-,-}≠{-,-}如何解決？我們不妨把抽象問題具體化！

　　如Si={1,2},Sj={2,3}那么min{-,2}為-，min{-,-}為-,Si是Sj符合題目要求的兩個集合。若Sj={2，4}則與Si={2，4}按題目要求應(yīng)是同一個集合。

　　題意弄清楚了，便有{1，2}，{2，4}，{1，3}，{2，6}，{1，2}，{3，6}，{2，3}，{4，6}按題目要求是4個集合。M是6個元素構(gòu)成的集合，含有2個元素組成的集合是C62=15個，去掉4個，滿足條件的集合有11個，故選B。

　　注：把抽象問題具體化是理解數(shù)學(xué)語言，準(zhǔn)確抓住題意的捷徑。

　　2.設(shè)I為全集，S1、S2、S3是I的三個非空子集，且S1∪S2∪S3=I，則下面論斷正確的是()

　　(A)CIS1∩(S2∪S3)=

　　(B)S1(CIS2∩CIS3)

　　(C)CIS1∩CIS2∩CIS3=

　　(D)S1(CIS2∪CIS3)

　　分析：這個問題涉及到集合的“交”、“并”、“補”運算。我們在復(fù)習(xí)集合部分時,應(yīng)讓同學(xué)掌握如下的定律:

　　摩根公式

　　CIA∩CIB=CI(A∪B)

　　CIA∪CIB=CI(A∩B)

　　這樣,選項C中:

　　CIS1∩CIS2∩CIS3

　　=CI(S1∪S2∪S3)

　　由已知

　　S1∪S2∪S3=I

　　即CI(S1∪S2∪S3)=CI=

　　而上面的定律并不是復(fù)習(xí)中硬加上的,這個定律是教材練習(xí)一道習(xí)題的引申。所以,高考復(fù)習(xí)源于教材,高于教材。

　　這道題的解決,也可用特殊值法,如可設(shè)S1={1，2}，S2={1，3}，S3={1，4}問題也不難解決。

　　3.是正實數(shù)，設(shè)S={|f(x)=cos[(x+])是奇函數(shù)}，若對每個實數(shù)a，S∩(a，a+1)的元素不超過2個，且有a使S∩(a，a+1)含2個元素，則的取值范圍是。

　　解：由f(x)=cos[(x+)]是奇函數(shù),可得cosx·cos=0,cosx不恒為0，

　　∴cos=0,=k+-，k∈Z

　　又>0，∴=-(k+-)

　　(a，a+1)的區(qū)間長度為1,在此區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個角,兩個角之差為:-(k1+k2)

　　不妨設(shè)k≥0，k∈Z：

　　兩個相鄰角之差為-<1,>。

　　若在區(qū)間(a，a+1)內(nèi)僅有二角,那么-≥1，≤2，∴<≤2。

　　注：這是集合與三角函數(shù)綜合題。

　　4.設(shè)集合A={(x,y)|y≥-|x-2|}，B={(x,y)|y≤-|x|+b}，A∩B≠，

　　(1)b的取值范圍是；

　　(2)若(x，y)∈A∩B且x+2y的最大值為9，則b的值是。

　　解：用圖形分別表示集合A、B。

　　-

　　-

　　-

　　B:y≤-|x|+b

　　從觀察圖形，易知

　　b≥1,A∩B≠；

　　(2)直線l方程為x+2y-2=0

　　直線x+2y=9平行于l，

　　其截距為-

　　∴b=-

　　5.集合A＝｛x|-＜0}，B＝｛x||x-b|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分條件，則b的取值范圍是()

　　A.-2≤b<0B.0

　　C.-3

　　分析A={x|-1

　　A、B區(qū)間長度均為2。

　　我們從反面考慮，若A∩B≠

　　此時，b+1≤-1或b-1≥1

　　即b≤-2或b≥2。

　　b≤-2或b≥2為b不能取值的范圍，所以應(yīng)排除A、B、C,選D。

　　注：本題是以集合為基礎(chǔ)的充要條件，其難點并不是充要條件，而是對參數(shù)b的處理。本題的解法意在從A∩B≠出發(fā),類似于不等量關(guān)系，考慮等量關(guān)系使問題簡化，再用排除法。

　　6.函數(shù)f:{1,2,3}→{1,2,3}滿足f(f(x))=f(x)，則這樣的函數(shù)個數(shù)共有

　　(A)1個(B)4個

　　(C)8個(D)10個

　　解：根據(jù)對應(yīng)關(guān)系定義,從象的個數(shù)出發(fā)去思考。

　　(1)函數(shù)集合有一個象,如象為1,

　　這時f(x)=1,x=1,2,3

　　f[f(x)]=f(1)=1=f(x)

　　寫成對應(yīng)形式{1,2,3}f{1}

　　若f(x)=2,x=1,2,3有{1,2,3}f{2}

　　同理{1,2,3}f{3}

　　以上共有3個函數(shù)。

　　(2)函數(shù)集合有2個元素

　　如函數(shù)集合為{1,2}

　　有{1,3}f{1},{2}f{2}

　　這時f(1)=1,f[f(1)]=f(1)

　　f(3)=1,f[f(3)]=f(1)=f(3)

　　f(2)=1,f[f(2)]=f(2)

　　有兩個函數(shù)。

　　同理函數(shù)集合為{1,3},{2,3}各有2個函數(shù)

　　綜上有6個函數(shù)

　　(3)函數(shù)集合有三個元素{1,2,3}

　　只有f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3

　　∴有一個函數(shù),f(x)=x

　　∴綜上(1)、(2)、(3)共有10個函數(shù),故選D。

　　2008年高考?xì)v史復(fù)習(xí)給材料題例析

　　1.坐落在天津市紅橋區(qū)的呂祖堂是目前我國僅存的較完好的義和團壇口，現(xiàn)為義和團運動紀(jì)念館。后殿陳列的當(dāng)年使用的傳單和神牌上供奉著宋江、燕青等名號，顯系效法梁山好漢。這表明：

　　A.義和團運動是一次農(nóng)民起義

　　B.義和團運動是一場反侵略斗爭

　　C.義和團對清政府缺乏清楚的認(rèn)識

　　D.義和團運動帶有盲目排外的傾向

　　●答案：C

　　●分析：這是一道具有地方氣息的試題，天津是當(dāng)年義和團運動的中心之一，保留著大量義和團運動的遺跡和文物。義和團運動是一場農(nóng)民運動，但并不以推翻清政府為目的，不是起義，故A項錯誤；B、D兩項雖然本身與史實相符，但與題干中提供的材料沒有關(guān)系，故也不能選；宋江等梁山好漢的政治追求是接受“招安”、投效朝廷，義和團供奉宋江、燕青等名號，實際上是“扶清滅洋”這一口號的體現(xiàn)，這說明義和團對清政府缺乏清楚的認(rèn)識。

　　2.閱讀以下材料：

　　材料一

　　“誰控制了海洋，誰就控制了世界。要控制海洋，就要有強大的海軍，……海軍必須積極出擊，不能消極防御。”

　　——(美)馬漢：《制海權(quán)對歷史的影響》1890年

　�、僬堦U述上面觀點萌生的背景。

　　材料二

　　洋務(wù)派關(guān)于海軍作戰(zhàn)指導(dǎo)方針，比較普遍的認(rèn)識是：“修我陸上之基業(yè)，不必爭利海中”；“無事?lián)P威海上，有警時收進(jìn)�？�，以守為戰(zhàn)”，強調(diào)海疆防務(wù)，“戰(zhàn)不如守，而守即為戰(zhàn)”；提出水師作戰(zhàn)應(yīng)“以船為用，以炮臺為體”，實現(xiàn)“水陸相依”。

　　——《洋務(wù)運動》叢刊第2冊

　�、诓牧隙�和材料一相比，觀點有何不同？為什么會有這樣的差別？

　　材料三

　　北洋水師從籌建到成軍，清政府一共投入經(jīng)費一億兩白銀。日本政府從1868年到1894年3月26年間共向海軍撥款9億日元，折合成白銀才6000萬兩，相當(dāng)于同期清政府對北洋水師投入的60%。……北洋水師與日本聯(lián)合艦隊鐵甲艦方面的數(shù)量比是6：1，中國遙遙領(lǐng)先；非鐵甲艦方面，8：9，日本略勝一籌。就火炮而言，無論大口徑火炮，還是小口徑火炮，北洋艦隊均占優(yōu)勢。200毫米以上大口徑的火炮，北洋艦隊與聯(lián)合艦隊的比例是26：11，北洋艦隊遙遙領(lǐng)先；小口徑火炮方面，北洋艦隊與聯(lián)合艦隊的比例是92：50！……北洋艦隊的軍官多能操英語，指揮命令竟是以英語發(fā)號。

　　——金一南《誰打敗了北洋水師》

　　耀華中學(xué)趙津

　　高考物理復(fù)習(xí)：動量能量綜合命題趨勢

　　(2)設(shè)彈簧長度被鎖定后，貯存在彈簧中的勢能為EP，由能量守恒，有

　　-·2mv12=-·3mv22+EP④

　　撞擊P后，A與D的動能都為零，解除鎖定后，當(dāng)彈簧剛恢復(fù)到自然長度時，勢能全部轉(zhuǎn)變成D的動能，設(shè)D的速度為，則有

　　EP=-(2m)v32⑤

　　當(dāng)彈簧伸長時，A球離開擋板P，并獲得速度。當(dāng)A、D的速度相等時，彈簧伸至最長。設(shè)此時的速度為V4，由動量守恒，有

　　2mv3=3mv4⑥

　　當(dāng)彈簧伸到最長時，其勢能最大，設(shè)此勢能為，由能量守恒，有

　　-·2mv32=-·3mv42+E'P⑦

　　解以上各式得

　　E'P=-mv02⑧

　　【例題2】如圖所示，C是放在光滑的水平面上的一塊木板，木板的質(zhì)量為3m，在木板的上面有兩塊質(zhì)量均為m的小木塊A和B，它們與木板間的動摩擦因數(shù)均為μ。最初木板靜止，A、B兩木塊同時以方向水平向右的初速度v0和2v0在木板上滑動，木板足夠長，A、B始終未滑離木板。求：

　　(1)木塊B從剛開始運動到與木板C速度剛好相等的過程中，木塊B所發(fā)生的位移；

　　(2)木塊A在整個過程中的最小速度。

　　解題方法與技巧：

　　(1)木塊A先做勻減速直線運動，后做勻加速直線運動；木塊B一直做勻減速直線運動；木板C做兩段加速度不同的勻加速直線運動，直到A、B、C三者的速度相等為止，設(shè)為v1。對A、B、C三者組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律得：

　　mv0=2mv0

　　=(m+m+3m)v1

　　解得：v1=0.6v0

　　對木塊B運用動能定理，有：

　　-mgs=-mv12--m(2v0)2

　　解得：s=91v02/50(g)

　　(2)設(shè)木塊A在整個過程中的最小速度為v′，所用時間為t，由牛頓第二定律：

　　對木塊

　　A：a1=mg/m=g，

　　對木板

　　C：a2=2mg/3m=2g/3，

　　當(dāng)木塊A與木板C的速度相等時，木塊A的速度最小，因此有：

　　v0-gt

　　=(2g/3)t

　　解得t=3v0/(5g)

　　木塊A在整個過程中的最小速度為：

　　v'=v0-a1t=2v0/5

　　【例題3】如圖所示，一質(zhì)量為M、長為L的長方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一質(zhì)量為m的小木塊A，m＜M�，F(xiàn)以地面為參照系，給A和B以大小相等、方向相反的初速度，使A開始向左運動，B開始向右運動，但最后A剛好沒有滑離B板。

　　(1)若已知A和B的初速度大小為v0，求它們最后的速度大小和方向.

　　(2)若初速度的大小未知，求小木塊A向左運動到達(dá)的最遠(yuǎn)處(從地面上看)離出發(fā)點的距離。

　　解題方法與技巧：

　　方法1.用牛頓第二定律和運動學(xué)公式求解。

　　A剛好沒有滑離B板，表示當(dāng)A滑到B板的最左端時，A、B具有相同的速度，設(shè)此速度為v，經(jīng)過時間為t，A、B間的滑動摩擦力為f。如圖所示。

　　對A據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式有：

　　f=maA，L2=v0t--aAt2，

　　v=-v0+aAt；

　　對B據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式有：

　　f=MaB，L0=v0t--aBt2，

　　v=v0-aBt；

　　由幾何關(guān)系有：L0+L2=L；

　　由以上各式可求得它們最后的速度大小為

　　v＝-·v0，方向向右。

　　fL=-

　　對A，向左運動的最大距離為L1=-=-L。

　　南開中學(xué)段勝利

　　高考英語復(fù)習(xí)：交際應(yīng)答別用“國語”方式

　　交際用語是每年高考英語試卷單項選擇部分的必考內(nèi)容，通常都會有1—2個題目。題干的呈現(xiàn)形式通常是對話，挖空設(shè)項多出現(xiàn)在交際應(yīng)答里。交際英語主要考查日常生活常用的話題范圍里，同學(xué)們正確使用英語進(jìn)行交際的能力。對于高中階段出現(xiàn)的交際功能用語，如問候、祝愿、介紹、告別、感謝道歉、邀請、約會、希望、請求、發(fā)表觀點、購物、就餐、使用交通工具等，都要有準(zhǔn)確的把握。同時，要特別注意由于中西文化不同，交際應(yīng)答也有很大的區(qū)別。例如，遇到別人對你的贊揚，你需要用“Thankyou.”做答，而漢語卻會說諸如“過獎了”之類的話。高考中，經(jīng)常出現(xiàn)“貌似”正確的“中國式”應(yīng)答的選項，

　　例如：——It’sgettinglate.I'mafraidImustbegoingnow.

　　——OK.______.

　　A.Takeiteasy

　　B.Goslowly

　　C.Staylonger

　　D.Seeyou

　　答案D。本題考查的交際功能是道別用語。彼此分手可以說“Seeyou(again,after,etc.).”“Takecare.”“Good-bye.”“Bye.”等。選項B，“慢點走”是典型的中國式應(yīng)答，千萬不要落到錯誤的陷阱里去。

　　從高考的意義來說，交際應(yīng)答盡管只是一兩分的問題，可在日常的英語應(yīng)用中，它卻十分重要，千萬不可掉以輕心。做好交際應(yīng)答，要注意以下幾點：

　　一、交際應(yīng)答要防止“中國式”答語的陷阱

　　例一：——Willyoujoinusinthegame?

　　——Thankyou,

　　A.butwhynot?

　　B.butI'drathernot.

　　C.andIwon't

　　D.andI'lljoin.

　　答案B。本題容易按照中文的思維誤選D。

　　例二：——You'vegivenusawonderfulChinesedinner,Mrs.Wang.

　　——_____.

　　A.Oh,I'mafraidIdidn'tcookverywell

　　B.I'mgladyouenjoyedit

　　C.Comeagainwhenyouarefree

　　D.It'snotnecessaryforyoutosayso

　　答案B。本題提供的其他三個備選項，都是中國式的回答。要特別注意中英兩種不同的文化背景所帶來的行為習(xí)慣的差異。

　　例三：“Haveyoubeenherelong?”______.

　　A.No,notvery

　　B.Notmuch

　　C.Yes,onlylittle

　　D.No,onlyyesterday

　　答案A。簡略答語，補全為“Ihaven'tbeenhereverylong.”注意選項D，是中國式英語。

　　例四：——IthinkyoushouldphoneJennyandsaysorrytoher.

　　——____________.Itwasherfault.

　　A.NowayB.Notpossible

　　C.NochanceD.Notatall

　　答案A。根據(jù)答話所說的Itwasherfault，可以判斷答話人決不打電話向Jenny道歉。noway意為“無論如何也不，決不，沒門兒”，故答案為A。注意B選項“中國味”十足。

　　例五：——Youshouldapologizetoher,Barry.

　　——______,butit'snotgoingtobeeasy.

　　A.IsupposesoB.Ifeelso

　　C.IprefertoD.Iliketo

　　答案A。注意B選項，沒有這樣的應(yīng)答搭配。

　　二、交際應(yīng)答要把握不同選項的適用語境

　　例一：——Canyoureadthesign,sir?Nosmokingallowedinthelift!

　　——________.

　　A.Nevermind

　　B.Don'tmentionit

　　C.Sure,Idon'tsmoke

　　D.Pardonme

　　答案D，“請原諒”。A是用來告訴別人不要擔(dān)心、憂慮或傷心。例如：“Wehaven'tdoneverywell,havewe?”“Nevermind.Atleastwetried.”B是用來禮貌地回答別人對你的感謝，即“別客氣”。例如：“Thanksfortheridehome!”“Don'tmentionit.”C不符合第一句話給出的情境。