第十一屆“希望杯”數(shù)學競賽初二第二試

一．選擇題： 1．－, －, －, －這四個數(shù)從小到大的排列順序是（ ）。 （A）－<－<－<－ （B）－<－<－<－ （C）－<－<－<－ （D）－<－<－<－ 2．一個三角形的三條邊長分別是a, b, c(a, b, c都是質數(shù))，且a＋b＋c＝16，則這個三角形的形狀是（ ）。 （A）直角三角形（B）等腰三角形（C）等邊三角形（D）直角三角形或等腰三角形 3．已知25x=2000, 80y=2000，則等于（ ）。 （A）2　　 （B）1　　 （C）　�。―） 4．設a＋b＋c=0, abc>0，則的值是（ ）。 （A）－3　　 （B）1　　 （C）3或－1　　 （D）－3或1 5．設實數(shù)a、b、c滿足a<b<c (ac<0)，且|c|<|b|<|a|，則|x－a|＋|x－b|＋|x＋c|的最小值是（ ）。 （A） （B）|b| （C）c－a （D）―c―a 6．若一個等腰三角形的三條邊長均為整數(shù)，且周長為10，則底邊的長為（ ）。 （A）一切偶數(shù) （B）2或4或6或8 （C）2或4或6 （D）2或4 7．三元方程x＋y＋z＝1999的非負整數(shù)解的個數(shù)有（ ）。 （A）20001999個 （B）19992000個 （C）2001000個 （D）2001999個 8．如圖1，梯形ABCD中，AB//CD，且CD＝3AB，EF//CD，EF將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，則AE ：ED等于（ ）。 （A）2 （B） （C） （D） 9．如圖2，一個邊長分別為3cm、4cm、5cm的直角三角形的一個頂點與正方形的頂點B重合，另兩個頂點分別在正方形的兩條邊AD、DC上，那么這個正方形的面積是（ ）。 （A）cm2　　　 （B）cm2 （C）cm2　　　 （D）cm2 10．已知p＋q＋r＝9，且, 則等于（ ）。 （A）9　　 （B）10　 （C）8　 （D）7 　 二．填空題： 11．化簡：=　　　　　　　　　　　　 。 12．已知多項式2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6可以分解為(x＋2y＋m)(2x－y＋n)的形式，那么的值是　　　　　　 。 13．△ABC中，AB>AC，AD、AE分別是BC邊上的中線和∠A的平分線，則AD和AE的大小關系是AD　　　 AE。(填“>”、“<”或“＝”) 14．如圖3，銳角△ABC中，AD和CE分別是BC和AB邊上的高，若AD與CE所夾的銳角是58°，則∠BAC＋∠BCA的大小是　　　　　　　 。 15．設a2－b2＝1＋, b2－c2＝1－，則a4＋b4＋c4－a2b2－b2c2－c2a2的值等于　　　　　　　 。 16．已知x為實數(shù)，且x2＋=3，則x3＋的值是　　　　　 。 17．已知n為正整數(shù)，若是一個既約分數(shù)，那么這個分數(shù)的值等于　　　　　 。 18．如圖4，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，∠ACB＝60°，將△ABC折疊，使點B和點C重合，折痕為DE，則△AEC的面積是　　　　 。 19．已知非負實數(shù)a、b、c滿足條件：3a＋2b＋c=4, 2a＋b＋3c=5，設S＝5a＋4b＋7c的最大值為m，最小值為n，則n－m等于　　　　　　 。 20．設a、b、c、d為正整數(shù)，且a7＝b6, c3＝d2, c－a＝17，則d－b等于　　　　 。 三．解答題： 21．已知實數(shù)a、b滿足條件|a－b|＝<1,化簡代數(shù)式(－)，將結果表示成只含有字母a的形式。 22．如圖5，正方形ABCD中，AB＝，點E、F分別在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，求△AEF的面積。 23．將編號為1，2，3，4，5的五個小球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子中，每個盒子只放入一個， = 1 * GB3 ① 一共有多少種不同的放法？ = 2 * GB3 ② 若編號為1的球恰好放在了1號盒子中，共有多少種不同的放法？ = 3 * GB3 ③ 若至少有一個球放入了同號的盒子中(即對號放入)，共有多少種不同的放法？ 參考答案 一．選擇題： 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B B D D C C D A 二．填空題： 題號 11 12 13 14 15 答案 1 － > 122° 5 題號 16 17 18 19 20 答案 ±2 －2 601 三．解答題： 21．∵|a－b|＝<1， ∴ a、b同號，且a≠0, b≠0, ∴ a－b－1＝(a-b)-1<0, ∴(－)=(－)[1-(a-b)]=. = 1 * GB3 ① 若a、b同為正數(shù)，由<1，得a>b， ∴ a-b=, a2－ab=b, 解得b=, ∴(－)==(1－) 　　　　　　　　　　 =－·=－ 　　　　　　　　　　 =－. = 2 * GB3 ② 若a、b同為負數(shù)，由<1，得b>a， ∴ a-b=－, a2－ab=－b, 解得b=, ∴(－)==(1＋) 　　　　　　　　　�。�= 　　　　　　　　　　 =. 綜上所述，當a、b同為正數(shù)時，原式的結果為－；當a、b同為負數(shù)時，原式的結果為 22．將△ADF繞A點順時針方向旋轉90°到△ABG的位置， ∴ AG＝AF，∠GAB＝∠FAD＝15°， ∠GAE＝15°＋30°＝45°， ∠EAF＝90°－(30°＋15°) ＝45°， ∴∠GAE＝∠FAE，又AE＝AE， ∴△AEF≌△AEG， ∴EF＝EG， ∠AEF＝∠AEG＝60°， 在Rt△ABE中，AB＝，∠BAE＝30°， ∴∠AEB＝60°，BE＝1， 在Rt△EFC中，∠FEC＝180°－(60°＋60°)＝60°， EC＝BC－BE＝－1，EF＝2(－1)， ∴EG＝2(－1)，S△AEG＝EG·AB＝3－， ∴S△AEF＝S△AEG＝3－. 23． = 1 * GB3 ① 將第一個球先放入，有5種不同的的方法，再放第二個球，這時以4種不同的放法，依此類推，放入第三、四、五個球，分別有3、2、1種放法，所以總共有5×4×3×2×1＝120種不同的放法。 = 2 * GB3 ② 將1號球放在1號盒子中，其余的四個球隨意放，它們依次有4、3、2、1種不同的放法，這樣共有4×3×2×1＝24種不同的放法。 = 3 * GB3 ③ (解法一) 在這120種放法中，排除掉全部不對號的放法，剩下的就是至少有一個球放入了同號的盒子中的放法種數(shù)。 為研究全部不對號的放法種數(shù)的計算法，設A1為只有一個球放入一個盒子，且不對號的放法種數(shù)，顯然A1＝0，A2為只有二個球放入二個盒子，且不對號的放法種數(shù)，∴ A2＝1，A3為只有三個球放入三個盒子，且都不對號的放法種數(shù)，A3＝2，……，A n為有n個球放入n個盒子，且都不對號的放法種數(shù)。 下面我們研究A n+1的計算方法，考慮它與A n及A n－1的關系， 如果現(xiàn)在有 n個球已經(jīng)按全部不對號的方法放好，種數(shù)為A n。取其中的任意一種，將第n＋1個球和第n＋1個盒子拿來，將前面n個盒子中的任一盒子(如第m個盒子)中的球(肯定不是編號為m的球)放入第n＋1個盒子，將第n＋1個球放入剛才空出來的盒子，這樣的放法都是合理的。共有n A n種不同的放法。 但是，在剛才的操作中，忽略了編號為m的球放入第n＋1個盒子中的情況，即還有這樣一種情況，編號為m的球放入第n＋1個盒子中，且編號為n＋1的球放入第m個盒子中，其余的n－1個球也都不對號。于是又有了nA n－1種情況是合理的。 綜上所述得A n＋1＝nA n＋nA n－1＝n(A n＋A n－1). 由A1=0, A2=1, 得A3=2(1＋0)=2, A4＝3(2＋1)=9, A5＝4(9＋2)=44. 所以至少有一個球放入了同號的盒子中的放法種數(shù)為全部放法的種數(shù)減去五個球都不對號的放法種數(shù)，即120－44＝76種。 (解法二) 從五個球中選定一個球，有5種選法，將它放入同號的盒子中 (如將1號球放入1號盒子)，其余的四個球隨意放，有24種放法，這樣共有5×24＝120種放法。 但這些放法中有許多種放法是重復的，如將兩個球放入同號的盒子中(例如1號球和2號球分別放入1號盒子、2號盒子中)的放法就計算了兩次，這樣從總數(shù)中應減去兩個球放入同號的盒子中的情況，得120－＝120－60(種)。 很明顯，這樣的計算中，又使得將三個球放入同號的盒子中(例如1號球、2號球和3號球分別放入1號盒子、2號盒子和3號盒子中)的放法少計算了一次，于是前面的式子中又要加入＝20種， 再計算四個球、五個球放入同號盒子的情況，于是再減去四個球放入同號盒子中的情況，最后加上五個球放入同號中的情況。 整個式子為120－＋－＋＝120－60＋20－5＋1＝76(種)。