覆蓋
2009-08-31 11:11:33網(wǎng)絡來源
一個半徑為1的單位圓顯然是可以蓋住一個半徑為的圓的.反過來則不然,一個半徑為的圓無法蓋住單位圓.那么兩個半徑為的圓能否蓋住呢?不妨動手實驗一下,不行.為什么不行?需幾個這樣的小圓方能蓋住大圓?……,這里我們討論的就是覆蓋問題,它是我們經(jīng)常遇到的一類有趣而又困難的問題.
定義 設G和F是兩個平面圖形.如果圖形F或由圖形F經(jīng)過有限次的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等變換扣得到的大小形狀不變的圖形F′上的每一點都在圖形G上.我們就說圖形G覆蓋圖形F;反之,如果圖形F或F′上至少存在一點不在G上,我們就說圖形G不能覆蓋圖形F.
關(guān)于圖形覆蓋,下述性質(zhì)是十分明顯的:
(1) 圖形G覆蓋自身;
(2) 圖形G覆蓋圖形E,圖形E覆蓋圖形F,則圖形G覆蓋圖形F.
1.最簡單情形――用一個圓覆蓋一個圖形.
首先根據(jù)覆蓋和圓的定義及性質(zhì)即可得到:
定理1 如果能在圖形F所在平面上找到一點O,使得圖形F中的每一點與O的距離都不大于定長r,則F可被一半徑為r的圓所覆蓋.
定理2 對于二定點A、B及定角α若圖形F中的每點都在AB同側(cè),且對A、B視角不小于α,則圖形F被以AB為弦,對AB視角等于α的弓形G所覆蓋.
在用圓去覆蓋圖形的有關(guān)問題的研究中,上述二定理應用十分廣泛.
例1 求證:(1)周長為2l的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋.
(2)桌面上放有一絲線做成的線圈,它的周長是2l,不管線圈形狀如何,都可以被個半徑為的圓紙片所覆蓋.
分析 (1)關(guān)鍵在于圓心位置,考慮到平行四邊形是中心對稱圖形,可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對角線交點疊合.
(2)"曲"化"直".對比(1),應取均分線圈的二點連線段中點作為覆蓋圓圓心.
證明 (1)如圖45-1,設ABCD的周長為2l,BD≤AC,AC、BD交于O,P為周界上任意一點,不妨設在AB上,則
∠1≤∠2≤∠3,
有OP≤OA.
又AC<AB+BC=l,
故OA<.
因此周長為2l的平行四邊形ABCD可被以O為圓心;半徑為的圓所覆蓋,命題得證.
(2)如圖45-2,在線圈上分別取點R,Q,使R、Q將線圈分成等長兩段,每段各長l.又設RQ中點為G,M為線圈恥任意一點,連MR、MQ,則
因此,以G為圓心,長為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個線圈.
例2△ABC的最大邊長是a,則這個三角形可被一半徑為的圓所覆蓋.
分析 a為最大邊,所對角A滿足60°≤A<180°.
證明 不妨設BC=a,以BC為弦,在A點所在一側(cè)作含60°角的弓形弧(圖45-3).因60°≤A≤180°,故根據(jù)定理2,△ABC可被該弓形所覆蓋.
由正弦定理,弓形相應半徑r=,所以△ABC可被半徑為的圓所覆
蓋.
顯然覆蓋△ABC的圓有無窮多個,那么半徑為的圓是否是最小的覆蓋圓呢?事實并不
盡然.
例3 △ABC的最大邊BC等于a,試求出覆蓋△ABC的最小圓.
解 分三種情形進行討論:
(1) ∠A為鈍角,以BC為直徑作圓即可覆蓋△ABC.
(2) ∠A是直角,同樣以BC為直徑作圓即可覆蓋△ABC;
(3)∠A是銳角.假若⊙O覆蓋△ABC,我們可在⊙O內(nèi)平移△ABC,使一個頂點B落到圓周上,再經(jīng)過適當旋轉(zhuǎn),使另一個頂點落在圓周上,此時第三個頂點A在⊙O內(nèi)或其圓周上,設BC所對圓周角為α,那么∠BAC≥α,設⊙O直徑d,△ABC外接圓直徑d0,那么
所以對于銳角三角形ABC,最小覆蓋圓是它的外接圓.
今后我們稱覆蓋圖形F的圓中最小的一個為F的最小覆蓋圓.最小覆蓋圓的半徑叫做圖形F的覆蓋半徑.
綜合例2、例3,即知△ABC中,若a為最大邊,則△ABC的覆蓋半徑r滿足
2.一個圖形F能否被覆蓋,與圖形中任意兩點間的距離最大值d密切相關(guān).
以下我們稱圖形F中任意兩點間的距離最大值d為圖形F的直徑.
我們繼續(xù)研究多個圓覆蓋一個圖形問題.
定義 對于圖形G1,G2,…,Gn,若圖形F中的每一點都被這組圖形中的某個所覆蓋,則稱這幾個圖形覆蓋圖形F.
圖形G1,G2,…,Gn為n個圓是一特殊情形.
例4 以ABCD的邊為直徑向平行四邊形內(nèi)作四個半圓,證明這四個半圓一定覆蓋整個平行四邊形.
分析1 ABCD的每一點至少被某個半圓所蓋住.
證明1 用反證法.如圖45-4設存在一點P在以AB、BC、CD、DA為直徑的圓外,根據(jù)定理二,∠APB,∠BPC,∠CPD∠DPA均小于90°,從而
∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA<360°.
與四角和應為周角相矛盾.故P應被其中一半圓蓋住,即所作四個半圓覆蓋ABCD.
分析2 劃片包干,如圖45-5,將ABCD分為若干部分,使每一部分分別都被上述四個半圓所覆蓋.
證明2 在ABCD中,如圖45-5,設AC≥BD.分別過B、D引垂線BE、DF垂直AC,交AC于E、F,將ABCD分成四個直角三角形,△ABE、△BCE、△CDF、△DAF.每一個直角三角形恰好被一半圓所覆蓋,從而整個四邊形被四個半圓所覆蓋.
上述結(jié)論可推廣到任意四邊形,留給讀者考慮.
例5 求證:一個直徑為1的圓不能被兩個直徑小于1的圓所覆蓋.
證明 如圖45-6,先考慮其中一個小圓即⊙O1去覆蓋大圓O,連O1、O過O作AB⊥O1O,AB為⊙O的直徑(若O1、O重合,那么AB為任意直徑)此時
故A、B兩點都不能被⊙O1蓋�。劣诹硪恍A⊙O2無疑不能同時蓋�。痢ⅲ聝牲c,故⊙O1、⊙O2不能覆蓋⊙O.
事實上,我們還可以從另一角度給予證明.那就是一個小圓無法覆蓋半個大圓,因此兩個小圓也就不可能覆蓋住整個大圓了.
現(xiàn)在,我們著手研究本文一開始就提出的問題.
例6 給定一個半徑為1的圓,若用半徑為的圓去覆蓋它,問至少要幾個才能蓋�。�
問題需要我們在二個方面給予回答:一是所確定數(shù)目的小圓足以覆蓋大圓;二是少于確定的數(shù)目,則全部小圓不能覆蓋大圓.
對于不能覆蓋的推斷,以下兩個原則是常用的:
原則1 若圖形F的面積大于圖形G的面積,則圖形G不能覆蓋圖形F.
原則2 直徑為d的圖形F不能被直徑小于d的圖形G所覆蓋.
兩原則十分顯然,不再證明.
四個半徑為的小圓面積和為π,恰等于大圓面積,而四小圓間若不重迭,則覆蓋其它圖形時,還須排除中間所夾的不屬于四圓的部分,換句話說,四小圓所覆蓋大圓部分面積必小于大圓自身面積,根據(jù)法則1,不可能覆蓋大圓,少于四個小圓更不可能.
若有五個小圓,我們改變角度考慮,可將大圓周分為六等分.因小圓直徑為1,五個小圓無法蓋住大圓周,而六個圓周恰好蓋�。�
還需考慮大圓圓心沒有被蓋住,再添加一個小圓,符合要求!
這說明:至少七個以為半徑的小圓方能覆覆蓋半徑為1的一個大圓.事實上這樣的六個小圓若蓋住大圓周,則大圓心不能被覆蓋.若其中一小圓蓋住大圓圓心,那么該圓又至多蓋住大圓周上一點也就是六個小圓無法覆蓋大圓,而我們作大圓的內(nèi)接正六邊形,分別將小圓圓心與各邊中點重合,再將第七個小圓圓心與大圓圓心重合即可蓋住大圓,如圖45-7,以下給出證明:
對于正△OAB,設OA、OB中點A1、B1,那么∠AA1B=∠AB1B=90°,故四邊形AA1B1B被以AB為直徑的圓覆蓋.另外,△OA1B1被小圓⊙O所覆蓋.類似地可推得七個小圓覆蓋整個大圓.
3.直線形圖形覆蓋別的圖形的問題
解決直線形圖形覆蓋別的圖形的問題,常須較高的智巧,一般的處理方法是通過構(gòu)造過渡圖形,逐步調(diào)整,最終獲得問題的解決.
例7 證明直徑為1的圖形F可被單位正方形覆蓋.
分析 先后用互相垂直的兩對平行線將圖形夾在中間,再向內(nèi)收縮.
證明 取位于水平方向和鉛直方向的兩對平行直線將圖形F夾在中間,再將位于下方的直線l2向上平移,直至遇到圖形F上點為止,中圖45-8中l2′處.接著又將l1向下平移至與l2′相距為1的l1′處止.因圖形F直徑為1.故圖形F仍被二直線l1′,l2′所夾.同樣采用先左后右的順序,將沿直線m1、m2平移至m1′、m2′處,m1′、m2′相距為1,而圖形F依然夾在直線m1′,m2′中間,從而直線l1′、l2′、m1′、m2′所圍成單位正方形即可覆蓋圖形F.
運用上述方法,我們可進一步解決以下問題:
例8 直徑為1的圖形F可被一個邊長為的正三角形覆蓋,試證明之.
證明 作三對相距為1的平行直線m1、m2、n1、n2,l1、l2,相交直線所成角為60°,圍成可覆蓋圖形F的六邊形及正△A1B1C1,正△A2B2C2(具體作法可參照例7).如圖45-9.設P為F中任意一點,它到六邊形各邊距離依次為x、a、y、b、z、c.又設正△A1B1C1的高為h1,正△A2B2C2的高為h2.因正三角形內(nèi)一點到三邊距離和等于正三角形的高,得
a+b+c=h1,
x+y+z=h2.
相加,得
(x+b)+(y+c)+(z+a)=h1+h2,
又x+b=1,y+c=1,z+a=1,
∴h1+h2=3.
根據(jù)抽屜原則,h1、h2中有一不大于,不妨設,即正△A1B1C1的高不大于,那么它的邊長
因此圖形F可被邊長不大于的正三角形即正△A1B1C1所覆蓋.
4.圖形的嵌入是覆蓋問題的一種重要變化形式
所謂圖形F能嵌入圖形G,其本質(zhì)就是圖形G能覆蓋圖形F.
例9試證面積為S、周長為P的四邊形一定可嵌入一個半徑為的圓.
分析 四邊形內(nèi)存在到各邊距離不小于的點.
證明 如圖45-10,設四邊形ABCD面積為S,周長為P.各邊長分別為a1、a2、a3、a4.現(xiàn)以a1、a2、a3、a4為長,為寬,向四邊形內(nèi)側(cè)作矩形,則這些矩形總面積是
即四個矩形面積總和等于四邊形面積.由于這四個矩形有重迭部分,所以四邊形內(nèi)部存在點O沒有被矩形覆蓋,那么以點O為圓心,為半徑的圓可嵌入四邊形ABCD中.
例10 在一個半徑等于18的圓中已嵌入16個半徑為3的圓.證明在余下的部分中還能嵌入9個半徑為1的圓.
證明 首先證明大圓中還能嵌入1個半徑為1的小圓.先將大圓的半徑收縮為17,而將半徑為3的圓膨脹成半徑為4的圓,此時大圓面積變?yōu)?/p>
π×172=289π.
16個半徑為4的圓的面積是
π×42×16=256π.
289π-256π=33π.
這說明大圓中嵌入16個半徑為3的圓外,還能嵌入半徑為1的一個小圓,如圖45-11所示.
再將大圓的半徑收縮為17,半徑為3的圓的半徑膨脹為4,半徑為1的圓膨脹為2,由于
289π-256π-4π=29π,所以大圓中除嵌入16個半徑為3的圓外,還能嵌入兩個半徑為1的圓.依此類推,由于289π-256π-4π×8=π>0,
故大圓還可嵌入九個半徑為1的小圓.
將圖形收縮、膨脹是解嵌入問題一種重要方法.