第三屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競賽初賽
2009-08-31 12:26:25網(wǎng)絡(luò)來源
第三屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競賽初賽 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
試題
1.根據(jù)國家版權(quán)局《書籍稿酬暫行規(guī)定》,書籍稿酬由基本稿酬和印數(shù)稿酬組成。 基本稿酬的標(biāo)準(zhǔn)為:(1)著作稿酬每千字10至30元,確有學(xué)術(shù)價(jià)值的,可適當(dāng)提高,但每千字不超過40元;(2)詞書稿有兩種計(jì)酬方法:其一是按一般著作稿標(biāo)準(zhǔn)另加15%至20%計(jì)算(詞條書目);其二是按每千字20元至30元計(jì)算,另增加20%至30%的基本稿酬(百科全書詞條)。 印數(shù)稿酬的標(biāo)準(zhǔn)為:(1)一般書籍,印數(shù)在一萬冊(cè)以內(nèi)的,以一萬冊(cè)計(jì)算付基本稿酬的8%。印數(shù)超過一萬冊(cè)的,其超過部分每千冊(cè)付基本稿酬的0.8%。(2)確有學(xué)術(shù)價(jià)值而印數(shù)較少的專著,印數(shù)在一萬冊(cè)以內(nèi)的,以一萬冊(cè)計(jì)算付基本稿酬的30%,印數(shù)超過一萬冊(cè)的,計(jì)算方法同(1)。 根據(jù)以上內(nèi)容,解答下列問題。 �。�1) 若印x 千冊(cè),試寫出每千字最高稿酬f(x) 和每千字最低稿酬g(x) 的函數(shù)關(guān)系式; �。�2) 若王教授出版了一本25.4萬字的書,印數(shù)1.8萬冊(cè),試計(jì)算他可獲得的最高稿酬和最低稿酬。 2. 小童的父親要到美國訪問,受人之托希望多帶點(diǎn)東西。中國民航的《國際旅客須知》中有關(guān)規(guī)定:"計(jì)件免費(fèi)行李額"中規(guī)定"適用中美、中加國際航線上的行李運(yùn)輸……。經(jīng)濟(jì)和旅游折扣票價(jià),免費(fèi)交運(yùn)的行李數(shù)為兩件,每件箱體三邊之和不超過62英寸(158厘米),但兩件之和不得超過107英寸(273厘米),每件最大重量不得超過32公斤。"試問這兩個(gè)箱子的長、寬、高各為多少可達(dá)最大體積? 請(qǐng)到市場上看看,商店出售的行李箱的尺寸與你計(jì)算所得結(jié)果是否近似?為什么? 3. 今年年初由中國建設(shè)銀行北京市分行印發(fā)的《個(gè)人住房貸款簡介》的小冊(cè)子中介紹了有關(guān)個(gè)人住房貸款的有關(guān)問題。其中指明貸款額最高為擬購買住房費(fèi)用總額的70%;貸款期限最長為20年。個(gè)人住房貸款利率如附表1所示。借款人在借款期內(nèi)每月以相等的月均還款額償還銀行貸款本金和利息。附表2列出了不同貸款期限下的月均還款額、還款總額和利息負(fù)擔(dān)總和。試給出公式說明附表2中后三列數(shù)是如何算出來的。 近年來國務(wù)院批準(zhǔn),中國人民銀行決定從1999年9月21日起,延長個(gè)人住房貸款期限并降低利率以支持城鎮(zhèn)居民購房。各商業(yè)銀行個(gè)人住房貸款的最長期限由現(xiàn)行的20年延長到30年。每筆貸款年限由商業(yè)銀行依據(jù)借款個(gè)人的年齡、工作年限、還款能力等因素與借款人協(xié)商確定。個(gè)人住房款年利率最高水平降為5.88%。并根據(jù)貸款期限劃分為兩個(gè)檔次:5年以下(含5年)為年利率5.31,5年以上為年利率5.88%。 請(qǐng)你根據(jù)新規(guī)定計(jì)算5年期、20年期的月均還款額、還款總額和利息負(fù)擔(dān)總和,并與原附表2中的同期貸款的負(fù)擔(dān)情況比較,住房貸款的負(fù)擔(dān)各降低了多少。 附表1 中國建設(shè)銀行北京分行個(gè)人住房貸款利率表
附表2 中國建設(shè)銀行北京分行個(gè)人住房貸款1~20年月均還款金額表 �。ń杩铑~為壹萬元) 單位:元
�。ū颈碜�1998年12月7日起執(zhí)行) 4. 某化工廠從今年一月起,若不改善生產(chǎn)環(huán)境,按現(xiàn)狀生產(chǎn),每月收入為70萬元,同時(shí)將受到環(huán)保部門的處罰,第一個(gè)月罰3萬元,以后逐月遞增2萬元。如果從今年一月起投資500萬元增加回收凈化設(shè)備(改造設(shè)備時(shí)間不計(jì)),一方面可以改善環(huán)境,另一方面也可以大大降低原料成本。據(jù)測算投產(chǎn)后的前5個(gè)月中的累計(jì)凈收入是生產(chǎn)時(shí)間 n(以月為單位)的二次函數(shù),生產(chǎn)前1、前2、前3個(gè)月的累計(jì)收入分別可達(dá)101萬元、204萬元和309萬元,以后穩(wěn)定在第5個(gè)月的水平。同時(shí)該廠不但不受罰,而且還將得到環(huán)保部門一次性100萬元的獎(jiǎng)勵(lì)。問經(jīng)過多少個(gè)月,投資開始見效,即投資改造后的純收入多于不改造時(shí)的純收入。 5. 據(jù)世界人口組織公布,地球上的人口在公元元年為2.5億,1600年為5億,1830年為10億,1930年為20億,1960年為30億,1974年為40億,1987年為50億,到1999年底,地球上的人口數(shù)達(dá)到了60億。請(qǐng)你根據(jù)20世紀(jì)人口增長規(guī)律推測,到哪年世界人口將達(dá)到100億?到2100年地球上將會(huì)有多少人口? 6. 國慶慶典活動(dòng)的中心廣場有數(shù)萬名學(xué)生手持圓花組成大型圖案方陣,方陣前排距觀禮臺(tái)120米,方陣縱列95人,每列長度192米,問第一、二排間距多大能達(dá)到滿意的觀禮效果? 7. 在某1000個(gè)人中有10個(gè)人患有一種病,現(xiàn)要通過驗(yàn)血把這10個(gè)病人查出來,若采用逐個(gè)人化驗(yàn)的方法需化驗(yàn)999次,(這里所需化驗(yàn)次數(shù)是指在最壞情況下化驗(yàn)次數(shù),如果碰巧,可能首先化驗(yàn)的10個(gè)人全是病人,10次化驗(yàn)就夠了。下面討論的化驗(yàn)次數(shù)均指最壞情況下的化驗(yàn)次數(shù))。 為了減少化驗(yàn)次數(shù),人們采用分組化驗(yàn)的辦法,即把幾個(gè)人的血樣混在一起,先化驗(yàn)一次,若化驗(yàn)合格,則這幾個(gè)人全部正常,若混合血樣不合格,說明這幾個(gè)人中有病人,再對(duì)它們重新化驗(yàn)(逐個(gè)化驗(yàn),或再分成小組化驗(yàn))。 試給出一種分組化驗(yàn)方法使其化驗(yàn)次數(shù)盡可能地小,不超過100次。
參考解答 1.解 (1)
�。�2)此時(shí)x=18,f(18)=65.472,g(18)=11.44 ,因此此書25.4萬字(254千字),所以最高稿酬為 65.472×254=16629.888≈16629.89(元),最低稿酬為11.44×254=2095.76 (元) 2.解 設(shè)長、寬、高分別為a,b,c 顯然a>0,b>0,c>0. 若a+b+c 一定(≤158), 根據(jù)a+b+c≥ ,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)等號(hào)成立,因此箱子為正方體時(shí)體積最大。 設(shè)兩個(gè)正方體箱子的邊長分別為a,b,(a>0,b>0). 由條件知 3(a+b)≤273,,為求最大取等號(hào),故得 a+b=91 設(shè) 代入b=91-a ,則 顯然,當(dāng) 時(shí), 有最小值,且
根據(jù)題意及上述,要在 且a+b=91 ,即 , 的條件下求f(a) 的最大值,而 ,于是得 兩個(gè)箱子的邊長分別為 厘米和 厘米時(shí),其體積之和為最大。即為:
市場調(diào)查思考: �、� 商店出售的箱子三邊長與計(jì)算所得誤差很大,原因: �。�1) 正方體箱子不易攜帶。 �。�2) 正方體箱子容量大,但易超重。 �、� 很多貨運(yùn)箱的形狀與手提行李箱相比,近似于正方體,因?yàn)樨涍\(yùn)箱可更多地考慮其容積問題。 3.解 設(shè)貸款額(本金)為A(元),貨款期限為n(月),月利率為 ,月均還款額為B,令 為第k 個(gè)月末還款后的本利金額,則
根據(jù)題意,當(dāng)k=n 時(shí), ,于是
例如貸款期5年時(shí), 由 元,得
還款總額 60B=11784.60,利息負(fù)擔(dān)總額60B-A=1784.60 ,得到附表2上相應(yīng)的值。 降低貨款利率后,
月均還款
總還款 60B=11408.4,總利息60B-A=1408.4 ,與原附表2中的同期貨款的負(fù)提相比,每月少交6.27 元。一共少負(fù)擔(dān)376.2 元。 對(duì)于n>60(10年), , 同理可得 20年,月均還款69.24,總還款16617.6,總利息6617.6,與原來比,每月省11.69元,共省2805.6元。 4.解 設(shè)不改造設(shè)備,按原條件生產(chǎn),n 個(gè)月累計(jì)收入為a(n),改造設(shè)備后生產(chǎn),n個(gè)月累計(jì)收入為b(n)。由已知條件a(n)=70n,且可設(shè) 于是 101=b(1)=a+b+c 204=b(2)=4a+2b+c 309=b(3)=9a+3b+c 解此方程組,得到a=1, b=100, c=0 于是
經(jīng)過簡單計(jì)算可以發(fā)現(xiàn),5個(gè)月內(nèi)投資不能見效。這是因?yàn)?/p> b(5)-500+100=125<315=a(5)-[3+5+7+9+11], 令 b(n)-500+100>a(n)-[3n+2n(n-1))/2] , (n>5), 即 , 化簡得
當(dāng)時(shí)
當(dāng)時(shí)
所以,經(jīng)過9個(gè)月投資才可見效。 5.解 題目中的數(shù)據(jù)均為大致時(shí)間,粗略估計(jì)的量,帶有較多的誤差。因此尋找人口增長規(guī)律時(shí)不需要,也不應(yīng)該過分強(qiáng)調(diào)規(guī)律與數(shù)據(jù)完全吻合。數(shù)據(jù)中20世紀(jì)以前的人口資料更加粗略,況且人口的預(yù)報(bào)準(zhǔn)確程度主要受到20世紀(jì)人口增長規(guī)律的影響,因而組建預(yù)報(bào)模型時(shí),不必要考慮20世紀(jì)以前的數(shù)據(jù)資料,在20世紀(jì)人口增長速度是逐漸變快的,因此用直線變化(勻速增長)建模做預(yù)報(bào)是不恰當(dāng)?shù)�;做為人口增長的模型,一般可以使用指數(shù)關(guān)系 ,其中N(t) 為t 時(shí)人口數(shù),a,r 為參數(shù)。 將 式取對(duì)數(shù)可得 它是關(guān)于t 的線性模型,這里 ln為以e底的對(duì)數(shù)。利用1930~1999年的數(shù)據(jù)可以得到lna=-28.33,r=0.0162, 模型為 (億) (1930≤t≤1999) 模型的擬合效果為 (人口單位:億) 年 代 1930 1960 1974 1987 1999 人口數(shù) 20 30 40 50 60 擬合數(shù) 19.49 31.70 39.78 49.11 56.61 擬合效果較好,可用于預(yù)報(bào)。 令N(t)=100 ,可求出t=2030.84 ,故可知如果照此規(guī)律大約在2031年世界人口將達(dá)到100億,而于2100年世界人口將達(dá)到307億。 6.解 下面給出一個(gè)簡單的解法,但它是較粗糙的,不過也實(shí)用。 所謂滿意,可以認(rèn)為從觀禮位置看到的縱列上每個(gè)花的部分是一樣的。
設(shè)觀禮者居高a 米,從觀禮位置看到的縱列上每個(gè)花的部分高度為b 米。 依題意,每列從第一個(gè)人到最后一個(gè)人(第95人)有94個(gè)間空,列長192米,則每列相鄰二人平均間距約2米。 為簡單起見,不妨設(shè)位于192米長的隊(duì)列中點(diǎn)前后的兩人間隔是2米,則
設(shè)第一、二排間距為 x米,則
于是, �。祝 � 7.解 我們給出如下的方法: 從1000人中任取64人,把他們的血樣混合化驗(yàn)(一般地,n 個(gè)人中有k 個(gè)病人,令s 使,則從n 個(gè)人中任取 個(gè)人一組,當(dāng)n=1000 ,k=10 時(shí), 若這64人混合血樣合格(化驗(yàn)是陰性),則這64個(gè)人正常,可排除,無需再化驗(yàn),再從剩下未化驗(yàn)的人中任取64個(gè)人,混合血樣化驗(yàn)。 若這64人混合血樣不合格(化驗(yàn)呈陽性),說明這64人中有病人。把這64個(gè)人,分為兩組,每組32人。 任取一組的混合血化驗(yàn),即可確定有病人的一組。(即只需化驗(yàn)一次,若化驗(yàn)的這組血樣成陰性,則病人在另一組。若化驗(yàn)的這組血樣成陽性,這組有病人,但此時(shí),另一組也可能有病人)。作為最壞的可能情形,我們無法保證另一組的32人中沒有病人,故選定有病人的一組后,把另一組人退回到未化驗(yàn)的人群中去。 把有病人的這組32人,再分為兩組,每組16人,重復(fù)上述過程。即化驗(yàn)一次,確定有病人的一組,把另一組退回到未化驗(yàn)的人群中。 依次下去,直到找到一個(gè)病人為止。至此一共化驗(yàn)了7次。 再從未化驗(yàn)的人中任取64人重復(fù)上述過程。 總之,對(duì)每次64人混合血化驗(yàn)成陽性的,通過7次化驗(yàn)可找到1個(gè)病人,由于共有10個(gè)病人,因此,這樣的情形,化驗(yàn)次數(shù)不超過7×10=70 次。對(duì)每次64人混合血化驗(yàn)成陰性的,由于1000=15×64+40 ,化驗(yàn)次數(shù)不超過15次。 故總的化驗(yàn)次數(shù)不超過70+15=85次。
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