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高三數(shù)學(xué)教案:《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)

來(lái)源:精品學(xué)習(xí)網(wǎng) 2018-11-14 11:08:27

  本文題目:高三數(shù)學(xué)教案:三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

  ●知識(shí)梳理

  1.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

  函 數(shù)

  性 質(zhì) y=sinx y=cosx y=tanx

  定義域

  值域

  圖象

  奇偶性

  周期性

  單調(diào)性

  對(duì)稱性

  注:讀者自己填寫(xiě).

  2.圖象與性質(zhì)是一個(gè)密不可分的整體,研究性質(zhì)要注意聯(lián)想圖象.

  ●點(diǎn)擊雙基

  1.函數(shù)y=sin( -2x)+sin2x的最小正周期是

  A.2π B.π C. D.4π

  解析:y= cos2x- sin2x+sin2x= cos2x+ sin2x=sin( +2x),T=π.

  答案:B

  2.若f(x)sinx是周期為π的奇函數(shù),則f(x)可以是

  A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x

  解析:檢驗(yàn).

  答案:B

  3.函數(shù)y=2sin( -2x)(x∈[0,π])為增函數(shù)的區(qū)間是

  A.[0, ] B.[ , ]

  C.[ , ] D.[ ,π]

  解析:由y=2sin( -2x)=-2sin(2x- )其增區(qū)間可由y=2sin(2x- )的減區(qū)間得到,即2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z.

  ∴kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z.

  令k=0,故選C.

  答案:C

  4.把y=sinx的圖象向左平移 個(gè)單位,得到函數(shù)____________的圖象;再把所得圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,而縱坐標(biāo)保持不變,得到函數(shù)____________的圖象.

  解析:向左平移 個(gè)單位,即以x+ 代x,得到函數(shù)y=sin(x+ ),再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,即以 x代x,得到函數(shù):y=sin( x+ ).

  答案:y=sin(x+ ) y=sin( x+ )

  5.函數(shù)y=lg(cosx-sinx)的定義域是_______.

  解析:由cosx-sinx>0 cosx>sinx.由圖象觀察,知2kπ-

  答案:2kπ-

  ●典例剖析

  【例1】 (1)y=cosx+cos(x+ )的最大值是_______;

  (2)y=2sin(3x- )的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離是_______.

  剖析:(1)y=cosx+ cosx- sinx

  = cosx- sinx= ( cosx- sinx)

  = sin( -x).

  所以ymax= .

  (2)T= ,相鄰對(duì)稱軸間的距離為 .

  答案:

  【例2】 (1)已知f(x)的定義域?yàn)閇0,1),求f(cosx)的定義域;

  (2)求函數(shù)y=lgsin(cosx)的定義域.

  剖析:求函數(shù)的定義域:(1)要使0≤cosx≤1,(2)要使sin(cosx)>0,這里的cosx以它的值充當(dāng)角.

  解:(1)0≤cosx<1 2kπ- ≤x≤2kπ+ ,且x≠2kπ(k∈Z).

  ∴所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈[2kπ- ,2kπ+ ]且x≠2kπ,k∈Z}.

  (2)由sin(cosx)>0 2kπ

  評(píng)述:求三角函數(shù)的定義域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是圖象,二是三角函數(shù)線.

  【例3】 求函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期,并求x為何值時(shí),y有最大值.

  剖析:將原函數(shù)化成y=Asin(ωx+ )+B的形式,即可求解.

  解:y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=1-3sin2xcos2x=1- sin22x= cos4x+ .

  ∴T= .

  當(dāng)cos4x=1,即x= (k∈Z)時(shí),ymax=1.

  深化拓展

  函數(shù)y=tan(ax+θ)(a>0)當(dāng)x從n變化為n+1(n∈Z)時(shí),y的值恰好由-∞變?yōu)?∞,則a=_______.

  分析:你知道函數(shù)的周期T嗎?

  答案:π

  ●闖關(guān)訓(xùn)練

  夯實(shí)基礎(chǔ)

  1.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+ )的圖象(部分),則ω和 的取值是

  A.ω=1, = B.ω=1, =-

  C.ω= , = D.ω= , =-

  解析:由圖象知,T=4( + )=4π= ,∴ω= .

  又當(dāng)x= 時(shí),y=1,∴sin( × + )=1,

  + =2kπ+ ,k∈Z,當(dāng)k=0時(shí), = .

  答案:C

  2. f(x)=2cos2x+ sin2x+a(a為實(shí)常數(shù))在區(qū)間[0, ]上的最小值為-4,那么a的值等于

  A.4 B.-6 C.-4 D.-3

  解析:f(x)=1+cos2x+ sin2x+a

  =2sin(2x+ )+a+1.

  ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ].

  ∴f(x)的最小值為2×(- )+a+1=-4.

  ∴a=-4.

  答案:C

  3.函數(shù)y= 的定義域是_________.

  解析:-sin ≥0 sin ≤0 2kπ-π≤ ≤2kπ 6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z).

  答案:6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z)

  4.函數(shù)y=tanx-cotx的最小正周期為_(kāi)___________.

  解析:y= - =-2cot2x,T= .

  答案:

  5.求函數(shù)f(x)= 的最小正周期、最大值和最小值.

  解:f(x)=

  = = (1+sinxcosx)

  = sin2x+ ,

  所以函數(shù)f(x)的最小正周期是π,最大值是 ,最小值是 .

  6.已知x∈[ , ],函數(shù)y=cos2x-sinx+b+1的最大值為 ,試求其最小值.

  解:∵y=-2(sinx+ )2+ +b,

  又-1≤sinx≤ ,∴當(dāng)sinx=- 時(shí),

  ymax= +b= b=-1;

  當(dāng)sinx= 時(shí),ymin=- .

  培養(yǎng)能力

  7.求使 = sin( - )成立的θ的區(qū)間.

  解: = sin( - )

  = ( sin - cos ) |sin -cos |=sin -cos

  sin ≥cos 2kπ+ ≤ ≤2kπ+ (k∈Z).

  因此θ∈[4kπ+ ,4kπ+ ](k∈Z).

  8.已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有兩解,求k的取值范圍.

  解:原方程sinx+cosx=k sin(x+ )=k,在同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)y1= sin(x+ )與y2=k的圖象.對(duì)于y= sin(x+ ),令x=0,得y=1.

  ∴當(dāng)k∈[1, )時(shí),觀察知兩曲線在[0,π]上有兩交點(diǎn),方程有兩解.

  評(píng)述:本題是通過(guò)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù),應(yīng)重視這種方法.

  探究創(chuàng)新

  9.已知函數(shù)f(x)=

  (1)畫(huà)出f(x)的圖象,并寫(xiě)出其單調(diào)區(qū)間、最大值、最小值;

  (2)判斷f(x)是否為周期函數(shù).如果是,求出最小正周期.

  解:(1)實(shí)線即為f(x)的圖象.

  單調(diào)增區(qū)間為[2kπ+ ,2kπ+ ],[2kπ+ ,2kπ+2π](k∈Z),

  單調(diào)減區(qū)間為[2kπ,2kπ+ ],[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z),

  f(x)max=1,f(x)min=- .

  (2)f(x)為周期函數(shù),T=2π.

  ●思悟小結(jié)

  1.三角函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)分支,它除了符合函數(shù)的所有關(guān)系和共性外,還有它自身的屬性.

  2.求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí),要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù),且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式,否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

  ●教師下載中心

  教學(xué)點(diǎn)睛

  1.知識(shí)精講由學(xué)生填寫(xiě),起到回顧作用.

  2.例2、例4作為重點(diǎn)講解,例1、例3誘導(dǎo)即可.

  拓展題例

  【例1】 已知sinα>sinβ,那么下列命題成立的是

  A.若α、β是第一象限角,則cosα>cosβ

  B.若α、β是第二象限角,則tanα>tanβ

  C.若α、β是第三象限角,則cosα>cosβ

  D.若α、β是第四象限角,則tanα>tanβ

  解析:借助三角函數(shù)線易得結(jié)論.

  答案:D

  【例2】 函數(shù)f(x)=-sin2x+sinx+a,若1≤f(x)≤ 對(duì)一切x∈R恒成立,求a的取值范圍.

  解:f(x)=-sin2x+sinx+a

  =-(sinx- )2+a+ .

  由1≤f(x)≤

  1≤-(sinx- )2+a+ ≤

  a-4≤(sinx- )2≤a- . ①

  由-1≤sinx≤1 - ≤sinx- ≤

  (sinx- ) = ,(sinx- ) =0.

  ∴要使①式恒成立,

  只需 3≤a≤4.

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