[趣味物理]大力士和歐拉的公式

　　你記得儒勒·凡爾納書里的競(jìng)技大力士馬蒂夫嗎？“頭大身高，胸膛像鐵匠的風(fēng)囊，腿像粗壯的木柱，胳膊像起重機(jī)，拳頭像鐵錘……”這位大力士的功勞在《馬蒂斯·桑多爾夫》這部小說(shuō)里敘述得很多，可是使讀者印象最深的，大概是他用手拉住一條正在下水的船“特拉波科羅”號(hào)這件事。

　　關(guān)于這件事，小說(shuō)的作者是這樣告訴我們的：

　　已經(jīng)移去了在兩旁撐住船身的支持物，船準(zhǔn)備下水了。只要把纜索解開(kāi)，船就會(huì)滑下去。已經(jīng)有五六個(gè)木工在船的龍骨底下忙著。觀眾滿懷著好奇心注視著這件工作。這時(shí)候，卻有一只快艇繞過(guò)岸邊凸出的地方，出現(xiàn)在人們的眼前。原來(lái)這只快艇要進(jìn)港口，必須經(jīng)過(guò)“特拉波科羅”號(hào)準(zhǔn)備下水的船塢前面。所以，一聽(tīng)見(jiàn)快艇發(fā)出信號(hào)，大船上的人為了避免發(fā)生意外，就停止了解纜下水的操作，讓快艇先過(guò)去。假使這兩條船，一條橫著，另一條用極高的速度沖過(guò)去，快艇一定會(huì)被撞沉的。

　　工人們停止了捶擊。所有的眼睛全都注視著這只華麗的船。船上的白色篷帆在斜陽(yáng)下像鍍了金一樣。快艇很快就出現(xiàn)在船塢的正前面。船塢上成千的人都出神地看著它。突然聽(tīng)到一聲驚呼，“特拉波科羅”號(hào)正當(dāng)快艇的右舷對(duì)著它的時(shí)候，開(kāi)始搖擺著滑下去了。兩條船就要相撞了。已經(jīng)沒(méi)有時(shí)間、沒(méi)有方法能夠防止這場(chǎng)慘禍了。“特拉波科羅”號(hào)很快地斜著向下面滑去……船頭上卷起了因摩擦而起的白霧，船尾已經(jīng)沒(méi)入了水。

　　突然出現(xiàn)了一個(gè)人，他抓住了掛在“特拉波科羅”號(hào)前部的纜索，用力地拉，幾乎把身子彎得接近了地面。不到1分鐘，他已經(jīng)把纜索繞在打在地里的鐵樁上。他冒著被摔死的危險(xiǎn)，用超人的氣力，用手拉住纜索大約有40秒鐘。最后，纜索斷了。可是這40秒鐘時(shí)間已經(jīng)很足夠：“特拉波科羅”號(hào)進(jìn)水以后，只輕微地擦了一下快艇，就向前駛了開(kāi)去。

　　快艇已經(jīng)脫了險(xiǎn)。至于這個(gè)使這件發(fā)生得很快的意外事件沒(méi)有造成慘禍的人──當(dāng)時(shí)甚至別人來(lái)不及幫助他──就是馬蒂夫。

　　假使小說(shuō)的作者聽(tīng)到說(shuō)，這樣的功勞并不需要一個(gè)像馬蒂夫那樣的“力大如虎”的巨人，而是每一個(gè)機(jī)智的人都能干的話，那他一定會(huì)非常驚奇。

　　力學(xué)告訴我們，纏在樁上的繩索，在滑動(dòng)的時(shí)候，摩擦力可以達(dá)到極大的程度。繩索繞的圈數(shù)越多，摩擦力也就越大。摩擦力增長(zhǎng)的規(guī)律是：如果因數(shù)按照算術(shù)級(jí)數(shù)加多，摩擦力就按照幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)。所以就是一個(gè)小孩子，只要能把繩索在一個(gè)不動(dòng)的轆轤上繞三四圈，然后抓住繩頭，他的力量就能平衡一個(gè)極大的重物。在河邊的輪船碼頭上，常常有一些少年，就用這個(gè)方法使載著幾百個(gè)乘客的輪船靠碼頭。原來(lái)在這里幫助他們的，并不是他們異常的臂力，而是繩和樁子之間的摩擦力。

　　18世紀(jì)，著名數(shù)學(xué)家歐拉曾經(jīng)確定了摩擦力跟繩索繞在樁子上的圈數(shù)之間的關(guān)系。我現(xiàn)在把歐拉的有用的公式引在下面，給那些不怕簡(jiǎn)潔的代數(shù)語(yǔ)言的讀者參考：

　　F＝feka

　　在這個(gè)公式里，f代表我們所用的力，F(xiàn)代表我們所要對(duì)抗的力。e代表數(shù)2．718……（自然對(duì)數(shù)的底），k代表繩和樁子之間的摩擦系數(shù)。a代表繞轉(zhuǎn)角，也就是繩索繞成的弧的長(zhǎng)度跟弧的半徑的比。

　　把這個(gè)公式應(yīng)用在儒勒·凡爾納的故事里，所得的結(jié)果非常使人吃驚。這里，力F是沿著船塢滑下去的船對(duì)纜索的拉力。從小說(shuō)里我們知道，船重50噸。假定船塢的坡度是1／10，那么，作用在纜索上的就不是船的全重，而是全重的1／10，也就是5噸或5000千克。

　　再說(shuō)，把k──纜索和鐵樁之間的摩擦系數(shù)──的數(shù)值算做1／3。a的數(shù)值是不難計(jì)算的。如果我們假定馬蒂夫曾經(jīng)把纜索繞樁3圈。這時(shí)候：

　　a=(3×2πr)／r=6π

　　把這些數(shù)值代進(jìn)歐拉的公式，就可以得到：

　　5000＝f×2．726π×（1／3）＋＝f×2．722π

　　未知數(shù)（就是需要的人力）可以用對(duì)數(shù)求出來(lái)：

　　log5000＝logf＋2πlog2．72得到f＝9．3千克=93牛

　　因此，這個(gè)大力士只要用93牛頓的力就可以把纜索拉住，立下這次大功了！你別以為這個(gè)數(shù)值──93牛──不過(guò)是理論上的，實(shí)際需要的一定比這大得多。恰恰相反，這個(gè)數(shù)對(duì)我們說(shuō)來(lái)已經(jīng)太大了：古時(shí)候用來(lái)系船的是麻繩和木樁，在這兩種東西之間，摩擦系數(shù)k比上面所用的數(shù)值更大，所以所需要的力簡(jiǎn)直小得可笑。只要繩索夠牢，吃得住拉力，就是力氣小的孩子，把它套在樁上繞三四圈以后，也能同樣立下這個(gè)儒勒·凡爾納小說(shuō)里的大力士所立的功勞，或者還能勝過(guò)他哩。