高考數(shù)學總復習:圖像

　　函數(shù)的圖像

　　圖像變換：

　　1.平移變換：① ;

　　② ;

　　2.伸縮變換：① ;

　　② ;

　　3.對稱變換: ①y=f(x)與y=f(-x)關(guān)于y軸對稱;

　　②y=f(x)與y=-f(x)關(guān)于x軸對稱;

　�、踶=f(x)與y=-f(-x)關(guān)于原點對稱;

　　④ ;

　�、� ;

　　4.對稱結(jié)論: ①若f(a+x)=f(a-x),則y=f(x)關(guān)于x=a對稱；

　�、谌鬴(a+x)=f(b-x),則y=f(x)關(guān)于x=  對稱；

　�、廴鬴(a+x)+f(a-x)=2b,則y=f(x)關(guān)于(a,b)對稱；

　　④y=f(a+x)與y=f(b-x)關(guān)于直線x= 對稱；;

　　考點一。圖像變換

　　1.(1)為了得到函數(shù)y＝lg x＋310的圖象，只需把函數(shù)y＝lg x的圖象上所有的點    (　　)

　　A．向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度

　　B．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度

　　C．向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度

　　D．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度

　　解:　y＝lg x＋310＝lg(x＋3)－1，將y＝lg x的圖象向左平移3個單位長度得到y(tǒng)＝lg(x＋3)的圖象，再向下平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝lg(x＋3)－1的圖象．

　　(2)說明由函數(shù) 的圖像經(jīng)過怎樣的圖像變換得到函數(shù) 的圖像.

　　解：（1）作出 關(guān)于 軸的對稱圖像，得到 ；（2）把 的圖像向左平移3個單位，得到 ；（3）把 向上平移1個單位，得到 的圖像.

　�。�3）若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象大致為(　　)

　　解：要想由y＝f(x)的圖象得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，需要先將y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱得到y(tǒng)＝－f(x)的圖象，然后再向左平移一個單位得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，可知C正確。(4)函數(shù)y= 的圖象 （  ）

　　A 關(guān)于點( 2,3)對稱  B 關(guān)于點(2, 3)對稱    C 關(guān)于直線x=  2對稱   D 關(guān)于直線y=  3對稱

　　解：

　�。�5）函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線y＝ex關(guān)于y軸對稱，

　　則f(x)等于(　　)  A．ex＋1            B．ex－1                  C．e－x＋1           D．e－x－1

　　解：與y＝ex圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為y＝e－x.依題意，f(x)圖象向右平移一個單位，得y＝e－x的圖象．∴f(x)的圖象由y＝e－x的圖象向左平移一個單位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.

　　考點二。畫圖象

　　2.分別畫出下列函數(shù)的圖象：

　　(1)  ；　         (2)y＝x2－2|x|－1;           (3)y＝sin |x|；

　　(4)y＝2x＋2；                    (5)y＝x＋2x－1                 (6)y＝x＋2x＋3.

　　解：(1)圖象如圖①.               （2）y＝x2－2x－1　 x≥0 x2＋2x－1   x<0 .圖象如圖③.

　　(3)當x≥0時，y＝sin |x|與y＝sin x的圖象完全相同，    又y＝sin |x|為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，其圖象如圖．

　　(4)將y＝2x的圖象向左平移2個單位．圖象如圖②.

　　(5)因y＝1＋3x－1，先作出y＝3x的圖象，將其圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位，即得y＝x＋2x－1的圖象，如圖④.

　　(6)y＝x＋2x＋3＝1－1x＋3，該圖象可由函數(shù)y＝－1x向左平移3個單位再向上平移1個單位得到．

　　考點三。利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)幫助判斷函數(shù)的圖像

　　3．（1）函數(shù)y＝ln(1－x)的大致圖象為                                        (　　)

　　解:將函數(shù)y＝ln x的圖象關(guān)于y軸對折，得到y(tǒng)＝ln(－x)的圖象，再向右平移1個單位即得y＝ln(1－x)的圖象．故選C.

　　(2)函數(shù)f(x)＝1＋log2x與g(x)＝21－x在同一直角坐標系下的圖象大致是        (　　)

　　解：f(x)＝1＋log2x的圖象由函數(shù)f(x)＝log2x的圖象向上平移一個單位得到，所以函數(shù)圖象經(jīng)過(1,1)點，且為單調(diào)增函數(shù)，A項中單調(diào)遞增的函數(shù)經(jīng)過點(1,0)，而不是(1,1)，故不滿足；函數(shù)g(x)＝21－x＝2×12x，其圖象經(jīng)過(0,2)點，且為單調(diào)減函數(shù)，B項中單調(diào)遞減的函數(shù)與y軸的交點坐標為(0,1)，故不滿足；D項中兩個函數(shù)都是單調(diào)遞增的，故選C.

　　(3)若loga2<0(a>0，且a≠1)，則函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)的圖象大致是    (　　)

　　解:　∵loga2<0，∴0<a<1，由f(x)＝loga(x＋1)單調(diào)性可知A、D錯誤，知B選項正確．

　　(4)函數(shù)y＝x＋cos x的大致圖象是(　　)

　　解：∵y′＝1－sin x≥0，∴函數(shù)y＝x＋cos x為增函數(shù)，排除C.又當x＝0時，y＝1，排除A，當x＝π2時，y＝π2，排除D.∴選B.

　　(5)函數(shù) 的圖象大致是  （   )

　　解：首先是奇偶性，由此排除A項；其次考慮函數(shù)值的正負情況，當 時， ，排除D項. 最后是單調(diào)性，由 ，得 ，因此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間與減區(qū)間各有無數(shù)個，答案排除B項，選C.

　　(6)函數(shù) 與 的圖像如下圖：則函數(shù) 的圖像可能是（   ）

　　解：由函數(shù)f(x),g(x)的圖像可知，f(x),g(x)分別是偶函數(shù)，奇函數(shù)，則f(x)g(x)是奇函數(shù)，可排除B，又∵函數(shù) 的定義域是函數(shù) 與 的定義域的交集 ，圖像不經(jīng)過坐標原點，故可以排除C、D，故選A。

　　考點四。函數(shù)圖象的應用

　　4.(1)已知函數(shù)y＝f(x)的周期為2，當x∈[－1,1]時f(x)＝x2，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝|lg x|的圖象的交點共有 (　　)A．10個      B．9個      C．8個    D．1個

　　(2)直線y＝1與曲線y＝x2－|x|＋a有四個交點，則a的取值范圍是________．

　　解：(1)觀察圖象可知，共有10個交點．

　　(2)y＝x2－x＋a，x≥0，x2＋x＋a，x<0，作出圖象，如圖所示． 此曲線與y軸交于(0，a)點，最小值為a－14，要使y＝1與其有四個交點，只需a－14<1<a∴1<a<54.

　　(3)討論方程|1－x|＝kx的實數(shù)根的個數(shù)．

　　解： 設(shè)y＝|1－x|，y＝kx，則方程的實根的個數(shù)就是函數(shù)y＝|1－x|的圖象與y＝kx的圖象交點的個數(shù)．由右邊圖象可知：當－1≤k<0時，方程沒有實數(shù)根；當k＝0或k<－1或k≥1時，方程只有一個實數(shù)根；當0<k<1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．

　　(4)已知函數(shù)y＝|x2－1|x－1的圖象與函數(shù)y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，求實數(shù)k的取值范圍．

　　解:y＝|x2－1|x－1＝x＋1 x>1或x<－1 ，－x－1 －1≤x<1 .作出該函數(shù)圖象可知，當0<k<1或1<k<4時有兩個交點．

　�。�5）已知函數(shù)f(x)＝2x，　　　x≥2， x－1 3，  x<2.若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是________．

　　解:圖象可以看出，若f(x)＝k有兩個不同的實根，k的取值范圍為(0,1)．