高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí):函數(shù)與方程

　　函數(shù)與方程

　　考點(diǎn)一、零點(diǎn)所在區(qū)間問(wèn)題

　　1.(1)下列關(guān)于函數(shù) 的說(shuō)法正確的是（     ）

　　內(nèi)均有零點(diǎn)              在區(qū)間 內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)

　　在 內(nèi)有零點(diǎn)，在 內(nèi)無(wú)零點(diǎn)         在 內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在 內(nèi)有零點(diǎn)

　　解：選D。 =  令f '(x)=0 得x=3，則0＜x＜3時(shí)f(x)為減函數(shù)，

　　x＞3時(shí)，f(x)為增函數(shù)，f(x)在x=3處取得最小值f(3)=1-ln3＜0，f( )= +1＞0 ，f(1)= ＞0，f(e)= -1＜0 ，所以在區(qū)間（ ，1）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間（1，e)內(nèi)有零點(diǎn)。

　�。�2）已知函數(shù)f(x)＝(12)x－x13 ，在下列區(qū)間中，含有函數(shù)f(x)零點(diǎn)的是(　　)

　　A．(0，13)　　　 　B．(13，12)         C．(12，1)          D．(1,2)

　　解：f(0)＝1>0，f(13)＝(12)13 －(13)13 >0，f(12)＝(12)12 －(12)13 <0，∵f(13)·f(12)<0，且函數(shù)f(x)的圖象為連續(xù)曲線，∴函數(shù)f(x)在(13，12)內(nèi)有零點(diǎn)．

　�。�3)函數(shù)f(x)=ax+1-2a在區(qū)間（-1,1）上存在一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。

　　解：由題的f（-1）f(1)<0,即（-3a+1)（1-a)<0.，則13<a<1.

　　考點(diǎn)二、二分法

　　2.設(shè)

　　（1）證明方程 在區(qū)間 內(nèi)有實(shí)數(shù)解；（2）使用二分法，取區(qū)間的中點(diǎn)3次，指出方程 的實(shí)數(shù)解 在哪個(gè)較小的區(qū)間內(nèi)

　　解：（1）函數(shù) 的圖象是連續(xù)曲線 ，因?yàn)?，

　　所以 所以方程 在區(qū)間 內(nèi)有實(shí)數(shù)解

　�。�2）①取區(qū)間 的中點(diǎn)1，這時(shí) 因?yàn)?，所以    所以 ②取區(qū)間 的中點(diǎn) ，這時(shí)   因?yàn)?，所以 所以

　�、廴�區(qū)間 的中點(diǎn) ，這時(shí) 由以上分析可知

　　考點(diǎn)三、方程的根與零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

　　3.(1)函數(shù)f(x)= 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(   )  A。0      B。1    C。2        D。3

　　解:當(dāng)x≤0時(shí),令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍去),當(dāng)x> 0時(shí),令-2+ln x=0,解得x=e2,所以函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn),故選C .

　　(2)函數(shù)f(x)=xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　 　)A。4       B。5     C。6    D。7

　　解:令f(x)=0,得x=0或cos x2=0,因?yàn)閤∈[0,4],所以x2∈[0,16].由于cos =0(k∈Z),故當(dāng)x2= , , , , 時(shí),cos x2=0.所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.故選C.

　　(3)函數(shù)f(x)=ex+3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　)   A.0        B。1       C。2          D。3

　　解:知f(x)=ex+3x在R上 單調(diào)遞增,又∵f(-1)= e-1-3<0,f(1)=e+3>0,∴函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)。

　　(4)函數(shù)f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　)A．0　　B．1　　C．2　　D．3

　　解：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝|x－2|與y＝lnx的圖象，∵lne＝1，e<3，∴由圖象可見(jiàn)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，∴函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．

　　(5)若定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2，函數(shù)g(x)＝log3 x－1 　 x>1 2x   x≤1 ，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－5,5]內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　)

　　A．9　　　　B．8　　　　C．7　　　　D．6

　　解：∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，又x∈[－1，1]時(shí)，f(x)＝x2，∴f(x)的圖象如圖所示，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)的圖象，可見(jiàn)y＝f(x)(－5≤x≤5)與y＝2x(x≤1)有5個(gè)交點(diǎn)，y＝f(x)(－5≤x≤5)與y＝log3(x－1)(x>1)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，∴共有8個(gè)交點(diǎn)．

　　（6已知f(x)是R上奇函數(shù)，且周期為3，當(dāng) 時(shí)，f(x)= ,求f(x)在 上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

　　解：由已知f(0)=0,f(2)=f(-1)=-f(1）=0， ，由圖像知：f(x)在 上有9個(gè)零點(diǎn)。

　　考點(diǎn)四、函數(shù)零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化思想問(wèn)題

　　(1)已知a是函數(shù)f(x)＝2x－ 的零點(diǎn)，若0<x0<a，則f( )的值滿足(　　)

　　A．f(x0)＝0        B．f(x0)<0        C．f(x0)>0         D．f(x0)的符號(hào)不確定

　　解：分別作出y＝2x與y＝log12x的圖象如圖，當(dāng)0<x0<a時(shí)，y＝2x的圖象在y＝log12x圖象的下方，所以，f(x0)<0.

　　(2)已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是(　　)A．x1<x2<x3      B．x2<x1<x3          C．x1<x3<x2      D．x3<x2<x1

　　解：令f(x)＝x＋2x＝0，因?yàn)?x恒大于零，所以要使得x＋2x＝0，x必須小于零，即x1小于零；令g(x)＝x＋lnx＝0，要使得lnx有意義，則x必須大于零，又x＋lnx＝0，所以lnx<0，解得0<x<1，即0<x2<1；令h(x)＝x－x－1＝0，得x＝x＋1>1，即x3>1，從而可知x1<x2<x3.

　　(3)方程y＝x2－|x|＋a－1有四個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。

　　解：設(shè)f（x）=x2-│x│，直線y=1-a與f（x）有四個(gè)交點(diǎn),由函數(shù)圖像可知 ,得a∈（1， ）∴a取值范圍為（1， ）。

　　考點(diǎn)五。二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問(wèn)題

　　5.(1)若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

　　解：設(shè)兩根分別為A， B，0<A<1;1<B<2根據(jù)偉達(dá)定理得：A+B=-（k-2） A*B=2k-1

　　1<A+B=-（k-2）<30<A*B=2k-1<2解不等式組，得出答案 1/2<k<1

　　(2)若關(guān)于x的方程3tx2＋(3－7t)x＋4＝0的兩個(gè)實(shí)根α，β滿足0<α<1<β<2，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

　　解：令f(x)=3tx^2+(3-7t)x+4，0＜α＜1＜β＜2，所以f(0)*f(1)<0，f(1)*f(2)<0，

　　所以4*(3t+3-7t+4)<0，(3t+3-7t+4)(12t+6-14t+4)<0，由4*(3t+3-7t+4)<0

　　得到-4t+7<0，t> 。由(3t+3-7t+4)(12t+6-14t+4)<0得到(-4t+7)(-2t+10)<0，(4t-7)(2t-10)<0，所以 <t<5

　　(3)已知函數(shù)f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1在原點(diǎn)右側(cè)至少有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

　　解：1)m=0,易知成立2）m不等于0，（m-3)^2-4m=0,得m=1或9,

　　當(dāng)m=1時(shí)，解得x=1,符合當(dāng)m=9時(shí)，解得x=-1/3,不符合，舍去

　　3)a.有一個(gè)零點(diǎn)，則（m-3)^2-4m>0,1/m<0,得m<0

　　.b.有兩個(gè)零點(diǎn)，則(m-3)^2-4m>0,(3-m)/m>0,1/m>0,得0<m<1

　　綜上，得m的取值范圍為（ ，1]