高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：函數(shù)值域

　　考點一：圖像法

　�。�1）求下列函數(shù)的值域：

　　（1）函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則定義域為________，值域為________．

　　解：函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－6,0]∪[3,7)，值域為[0，＋∞)．

　　(2)若 有意義，y＝x2－6x＋7；

　　解：x－2≥0，即x≥2.又∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，∴ymin＝(3－3)2－2＝－2，∴其值域為[－2，＋∞)．

　　(3)y＝x2＋2x，x∈[-2,3]；    (4)  y＝x＋4x，x∈[1,5]；

　　解：(3)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵0≤x≤3，∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x＋1)2≤16.∴0≤y≤15，即函數(shù)y＝x2＋2x(x∈[-2,3])的值域為[-1,15]．

　　(4)由對號函數(shù)圖象得值域為：[4, ]。

　　（5） （零點分段法）；   解： ，值域： 。

　　考點二。換元法(y=一次函數(shù)+ ）

　�。�1）y= ;

　　解：令 。

　　（2）y= ;

　　解：令 。

　　考點三：分離常數(shù)法

　　(1)分子=分母

　　解：由已知有  .由 ，得 .

　　∴ .∴函數(shù) 的值域為 .

　　(2）分子》分母       設(shè) ，求函數(shù) 的最小值.

　　解  ∵ ，∴ .由已知有    .當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時，等號成立.∴當(dāng) 時， 取得最小值 .

　�。�3）分子《分母    設(shè)x>2,求函數(shù) 的值域.

　　解： = =

　　= = .故單調(diào)遞減，則值域為y (- .

　　考點四：復(fù)合函數(shù)法

　　(1)若函數(shù)f(x)的值域是12，3，求F(x)＝f(x)＋ 的值域。

　　解：令t＝f(x)，則12≤t≤3.易知函數(shù)g(t)＝t＋1t在區(qū)間12，1上是減函數(shù)，在[1,3]上是增函數(shù)．又因為g12＝52，g(1)＝2，g(3)＝103.可知函數(shù)F(x)＝f(x)＋1f?x?的值域為2，103.

　　(2)y＝log3x＋logx3－1，x （1,3]

　　解：y＝log3x＋1log3x－1，令log3x＝t，則y＝t＋1t－1(t≠0)，

　　當(dāng)x [1,3]時，t （0,1]，y≥2 t·1t－1＝1，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1t即log3x＝1，x＝3時，等號成立；綜上所述，函數(shù)的值域是[1，＋∞).

　�。�3）y= , x [-2,0]

　　解：設(shè)t=1-2x- ,得t [1,2]，所以y [-1,0).

　　(4)y= ,x [-1,1]

　　解：令 =t(t>0) ，y=-t?+4t ，t [ ,2],y [ ,4].

　　考點五。求參數(shù)

　�。�1）若函數(shù)f(x)＝1x－1在區(qū)間[a，b]上的值域為13，1，則a＋b＝________.

　　解：∵由題意知x－1>0，又x∈[a，b]，∴a>1.則f(x)＝1x－1在[a，b]上為減函數(shù)，

　　則f(a)＝1a－1＝1且f(b)＝1b－1＝13，∴a＝2，b＝4，a＋b＝6.

　�。�2)已知 有最小值，求a的取值范圍。

　　解：由已知令 有最小值，則只須 單調(diào)遞增，即a>1,又 >0恒成立,則 ，故 ；

　�。�3）設(shè)函數(shù)  ①若a=0，則f(x)的最大值為__________；\

　�、谌鬴(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是_________________。

　　解：（1） ,由圖象知：f(x)=f(-1)=2;

　　(2) 交于（-1,2）點，由分段函數(shù)圖象，當(dāng)a,》-1,最大值在三次函數(shù)極值點處取，最大為2；當(dāng)a<-1時，無最大值。故a<-1.

　　陜西省2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：專題二  函數(shù)值域

　　考點一：圖像法

　�。�1）求下列函數(shù)的值域：

　�。�1）函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則定義域為________，值域為________．

　　解：函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－6,0]∪[3,7)，值域為[0，＋∞)．

　　(2)若 有意義，y＝x2－6x＋7；

　　解：x－2≥0，即x≥2.又∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，∴ymin＝(3－3)2－2＝－2，∴其值域為[－2，＋∞)．

　　(3)y＝x2＋2x，x∈[-2,3]；    (4)  y＝x＋4x，x∈[1,5]；

　　解：(3)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵0≤x≤3，∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x＋1)2≤16.∴0≤y≤15，即函數(shù)y＝x2＋2x(x∈[-2,3])的值域為[-1,15]．

　　(4)由對號函數(shù)圖象得值域為：[4, ]。

　�。�5） （零點分段法）；   解： ，值域： 。

　　考點二。換元法(y=一次函數(shù)+ ）

　　（1）y= ;

　　解：令 。

　�。�2）y= ;

　　解：令 。

　　考點三：分離常數(shù)法

　　(1)分子=分母

　　解：由已知有  .由 ，得 .

　　∴ .∴函數(shù) 的值域為 .

　　(2）分子》分母       設(shè) ，求函數(shù) 的最小值.

　　解  ∵ ，∴ .由已知有    .當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時，等號成立.∴當(dāng) 時， 取得最小值 .

　　（3）分子《分母    設(shè)x>2,求函數(shù) 的值域.

　　解： = =

　　= = .故單調(diào)遞減，則值域為y (- .

　　考點四：復(fù)合函數(shù)法

　　(1)若函數(shù)f(x)的值域是12，3，求F(x)＝f(x)＋ 的值域。

　　解：令t＝f(x)，則12≤t≤3.易知函數(shù)g(t)＝t＋1t在區(qū)間12，1上是減函數(shù)，在[1,3]上是增函數(shù)．又因為g12＝52，g(1)＝2，g(3)＝103.可知函數(shù)F(x)＝f(x)＋1f?x?的值域為2，103.

　　(2)y＝log3x＋logx3－1，x （1,3]

　　解：y＝log3x＋1log3x－1，令log3x＝t，則y＝t＋1t－1(t≠0)，

　　當(dāng)x [1,3]時，t （0,1]，y≥2 t·1t－1＝1，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1t即log3x＝1，x＝3時，等號成立；綜上所述，函數(shù)的值域是[1，＋∞).

　�。�3）y= , x [-2,0]

　　解：設(shè)t=1-2x- ,得t [1,2]，所以y [-1,0).

　　(4)y= ,x [-1,1]

　　解：令 =t(t>0) ，y=-t?+4t ，t [ ,2],y [ ,4].

　　考點五。求參數(shù)

　�。�1）若函數(shù)f(x)＝1x－1在區(qū)間[a，b]上的值域為13，1，則a＋b＝________.

　　解：∵由題意知x－1>0，又x∈[a，b]，∴a>1.則f(x)＝1x－1在[a，b]上為減函數(shù)，

　　則f(a)＝1a－1＝1且f(b)＝1b－1＝13，∴a＝2，b＝4，a＋b＝6.

　�。�2)已知 有最小值，求a的取值范圍。

　　解：由已知令 有最小值，則只須 單調(diào)遞增，即a>1,又 >0恒成立,則 ，故 ；

　�。�3）設(shè)函數(shù)  ①若a=0，則f(x)的最大值為__________；\

　　②若f(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是_________________。

　　解：（1） ,由圖象知：f(x)=f(-1)=2;

　　(2) 交于（-1,2）點，由分段函數(shù)圖象，當(dāng)a,》-1,最大值在三次函數(shù)極值點處取，最大為2；當(dāng)a<-1時，無最大值。故a<-1.