高一數(shù)學(xué)教案：《基于APOS理論的函數(shù)概念》教學(xué)設(shè)計(jì)

　　一、 概念同化教學(xué)與APOS 理論

　　高中新課程實(shí)行已經(jīng)有四年多了，然而目前，相當(dāng)多教師仍然采取傳統(tǒng)的概念同化教學(xué)方式，其教學(xué)步驟為[1]：（1）揭示概念的本質(zhì)屬性，給出定義、名稱和符號(hào)；（2）對(duì)概念進(jìn)行特殊分類，揭示概念的外延；（3）鞏固概念，利用概念的定義進(jìn)行簡(jiǎn)單的識(shí)別活動(dòng)；（4）概念的應(yīng)用與聯(lián)系，用概念解決問(wèn)題，并建立所學(xué)概念與其它概念間的聯(lián)系。

　　這種教學(xué)方式有其精妙之處，但是過(guò)快的抽象過(guò)程只能有一少部分學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)，難以引發(fā)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，大部分學(xué)生理解不了數(shù)學(xué)概念，只能靠死記硬背。事實(shí)上，概念的同化教學(xué)對(duì)幫助學(xué)生構(gòu)建良好的概念圖式、原理圖式，作用十分有限。因?yàn)樾睦硪饬x是不能傳授的，必需由學(xué)生自我構(gòu)建，不能由教師代替學(xué)生操作、思考、體驗(yàn)。

　　美國(guó)數(shù)學(xué)教育學(xué)家 Ed.Dubinsky認(rèn)為：一個(gè)人是不可能直接學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念的，更確切地說(shuō),人們透過(guò)心智結(jié)構(gòu)（mental structure）使所學(xué)的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生意義。如果一個(gè)人對(duì)于給予的數(shù)學(xué)概念擁有適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他幾乎自然就學(xué)到了這個(gè)概念。反之，如果他無(wú)法建立起適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念幾乎是不可能的。因此，Ed Dubinsky認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就是要建構(gòu)心智結(jié)構(gòu)，這一建構(gòu)過(guò)程要經(jīng)歷以下4個(gè)階段[2]：

　　二、基于APOS理論的函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

　　從數(shù)學(xué)教育的研究?jī)?nèi)容來(lái)看，關(guān)于代數(shù)內(nèi)容已經(jīng)逐漸從以解方程為中心轉(zhuǎn)到以研究函數(shù)為中心了[3]。函數(shù)概念已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)中最為重要的概念之一。 函數(shù)概念本身不好理解。國(guó)外關(guān)于函數(shù)教學(xué)的研究表明了這一點(diǎn)——斯法德調(diào)查了60 名16 歲和18 歲的學(xué)生，結(jié)論是大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為函數(shù)的概念是個(gè)過(guò)程而不是靜止的結(jié)構(gòu)。中國(guó)學(xué)者也進(jìn)行了相關(guān)的研究，見文獻(xiàn)[4].

　　可見，函數(shù)確實(shí)成了中學(xué)數(shù)學(xué)中最難教、最難學(xué)的概念之一。函數(shù)的教學(xué)在我國(guó)設(shè)置成螺旋式的教學(xué)，初中是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)對(duì)函數(shù)進(jìn)行定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全揭示出函數(shù)概念的本質(zhì)。例如，對(duì)于函數(shù)如果用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去看它，就不好解釋，顯得牽強(qiáng)。但如果用集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)來(lái)解釋，就十分自然。筆者在浙江省義烏市第三中學(xué)陳向陽(yáng)老師設(shè)計(jì)的《函數(shù)的概念》基礎(chǔ)上進(jìn)行思考，嘗試用APOS理論來(lái)設(shè)計(jì)高中函數(shù)概念的教學(xué)。

　�。ㄒ唬﹦�(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引出課題

　　教師提出問(wèn)題1：

　　我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念，它是如何定義的呢？在初中已經(jīng)學(xué)過(guò)哪些函數(shù)？（在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上出示投影）

　　我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些具體的函數(shù)，那么為什么還要學(xué)習(xí)函數(shù)呢？先請(qǐng)同學(xué)們思考下面的問(wèn)題：

　　問(wèn)題2：由上述定義你能判斷“y=1”是否表示一個(gè)函數(shù)？函數(shù)y=x與函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)嗎？

　　學(xué)生思考、討論后，教師點(diǎn)撥：僅用上述函數(shù)概念很難回答這些問(wèn)題，我們需要從新的角度來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)概念。

　　（二）生活實(shí)例演示，操作練習(xí)[活動(dòng)（A）]

　　問(wèn)題3：下圖中哪幾個(gè)圖像與下述三件事分別吻合得最好?請(qǐng)你為剩下的那個(gè)圖像寫出一件事．