高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：函數(shù)單調(diào)性

　　專題一   函數(shù)單調(diào)性

　　單調(diào)性

　　增+增=增；   減+減=減；（增*增，減*減，增*減，增/減單調(diào)性不確定）

　　考點(diǎn)一．定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性

　�。�1）討論函數(shù)f(x)＝axx2－1(a>0)的單調(diào)性．

　　解：由x2－1≠0，得x≠±1，即定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)．

　�、�    設(shè)－1<x1<x2<1，則f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝ax1x22－ax1－ax2x21＋ax2?x21－1??x22－1?＝a?x2－x1??x1x2＋1??x21－1??x22－1?

　　∵－1<x1<x2<1，∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x21－1)(x22－1)>0.又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，減函數(shù)；

　　②設(shè)1<x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝a?x2－x1??x1x2＋1??x21－1??x22－1?，∵1<x1<x2，∴x21－1>0，x22－1>0，x2－x1>0，x1x2＋1>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴減函數(shù)；

　　又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)在(－∞，－1)上是減函數(shù).則為減函數(shù)。

　　考點(diǎn)二．抽象函數(shù)單調(diào)性

　�。�1）已知函數(shù)f(x)對于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x>0時，f(x)<0，判斷f(x)單調(diào)性．

　　解：在R上任取x1，x2， 不妨設(shè)x1>x2，則f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0時，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是減函數(shù)．

　　考點(diǎn)三．求單調(diào)區(qū)間．

　　命題點(diǎn)1：圖像法

　�。�1）分段函數(shù)：

　�。�1）f(x)＝ ；       解：

　�。�2）設(shè)函數(shù)f(x)＝1，x>0，0，x＝0，－1，x<0，g(x)＝x2f(x－1)；

　　解：　g(x)＝x2，x>1，0，x＝1，－x2，x<1.如圖所示，其遞減區(qū)間是[0,1)．

　　（1）絕對值函數(shù)：

　　（1）y＝|－x2＋2x＋3|；        解： .

　　(2)y＝－x2＋2|x|＋3；    解：在(－∞，－1]，[0,1]上是增函數(shù)，在[－1,0]，[1，＋∞)上是減函數(shù)．

　　（3）  ;    解： ，增：（-2,0）和 ；減： 和 。

　�。�4） （零點(diǎn)分段法）；   解： ，增： ；減： 。

　�。�3）對號函數(shù)：

　�。�1） ；   解：增： ；減： 。

　　命題點(diǎn)2：復(fù)合函數(shù)：

　�。�1）y＝ x2＋x－6 ；

　　解：令u＝x2＋x－6，y＝ x2＋x－6∴y＝ x2＋x－6的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－3]，單調(diào)增區(qū)間為[2，＋∞).

　　(2)y＝log2(x2－1)；

　　解：y＝log2(x2－1)定義域?yàn)?－∞，－1)∪(1，＋∞)．

　　∴當(dāng)x∈(－∞，－1)時，y＝log2(x2－1)為減函數(shù)，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，y＝log2(x2－1)為增函數(shù)．

　�。�3）y＝log (x2－3x＋2)

　　解：令u＝x2－3x＋2，則y＝log u．令u＝x2－3x＋2>0，則x<1或x>2.

　　故y＝log (x2－3x＋2)的單調(diào)減區(qū)間為(2，＋∞)，單調(diào)增區(qū)間為(－∞，1)．

　�。�4）y= +5

　　解：令t= ，則y= +3t+5 ， y= +3t+5遞增區(qū)間：(-  , ） 遞減區(qū)間：( - , - )，  >0恒成立，所以原函數(shù)在定義域遞增。

　　考點(diǎn)四．由單調(diào)性比大小。

　�。�1）已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位后關(guān)于y軸對稱，當(dāng)x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，比較a，b，c的大小。

　　解：　函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且在(1，＋∞)上是減函數(shù)．a(chǎn)＝f－12＝f52，所以b>a>c.

　�。�2）比較： 的大小。

　　解：比較兩個指數(shù)冪大小時，盡量化同底數(shù)或同指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大��；當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時，構(gòu)造兩個指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大�。��� 。

　　(3)已知 ，比較a= ，b= ,c= 大小。

　　解：a與b可利用 單調(diào)遞減， ， b>a,又a與c可利用y=x單調(diào)遞增， ，則a>c,故b>a>c.

　�。�4）比大�。�    ①log323與log565；                 ②log1.10.7與log1.20.7.

　　解：(1)①∵log323<log31＝0，而log565>log51＝0，∴log323<log565.

　�、谧鞒鰕＝log1.1x與y＝log1.2x的圖象，如圖所示，兩圖象與x＝0.7相交可知log1.10.7<log1.20.7.

　　考點(diǎn)五。二次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)

　　（1）若f(x)＝－x2＋2ax在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，求a的取值范圍。

　　解： 利用二次函數(shù)動軸定區(qū)間，∴a≤1.

　�。�2）若f(x)＝x2＋2（a-1）x+2在區(qū)間 上是增函數(shù)，求a的取值范圍。

　　解： 利用二次函數(shù)動軸定區(qū)間，∴1-a≤4，則a》-3.

　　考點(diǎn)六。分段函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)

　　(1)已知 單調(diào)遞增區(qū)間為： ，求a的值。

　　解：由絕對值圖像2x+a=0,則a=-2x=-6.

　�。�2）若f(x)＝ ，是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，求a的取值范圍。

　　解：由已知得 解得a∈ ．

　�。�3）若f(x)＝ ，是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍。

　　解：由已知得 解得a∈ ．

　�。�4）若f(x)＝ax?x>1?，4－a2x＋2?x≤1?是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍。

　　解：由已知得a>1，4－a2>0，a≥4－a2＋2，解得a∈[4,8)．

　　（5）已知f(x)＝ 滿足對任意的實(shí)數(shù)x1≠x2都有 <0成立，求a的取值范圍。

　　解:R上為減函數(shù)，只需滿足3a－1<0，0<a<1，?3a－1?×1＋4a≥loga1，解得17≤a<13.

　　考點(diǎn)七，單調(diào)性與解不等式

　�。�1）已知f(x)在R上單調(diào)遞減，且 ，求x的取值范圍。

　　解：由單調(diào)性知： ，則 ，即-1<x<1且x 0.

　�。�2）若 ，且 ，求a的取值范圍。

　　解：畫分段函數(shù)圖象知f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，則 ，解的-2<a<1.

　�。�3）已知f(x)是定義在（-1，1）上減函數(shù)，且 ，求a的取值范圍。

　　解： 。

　　考點(diǎn)七。單調(diào)性與恒成立

　　（1）g(x)＝ax＋1在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，求a的取值范圍。

　　解： 《0在[1,2]上恒成立，則-a《0，當(dāng)a=0時，函數(shù)不單調(diào)，（舍），即a>0.

　�。�2）已知 ，對任意 ，都有f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。

　　解：由題知： 。

　　（3）已知 ，對任意 ，都有f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。

　　解：當(dāng)a=0時，1>0成立；

　　當(dāng) ， ；綜上： 。

　�。�4）已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ax,若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍．

　　解:f(x)＝x＋ax＋2，x∈[1，＋∞)．要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a>- -2x，即a>－3．

　　（5）已知 ，對任意 ，都有f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。

　　解：對任意 ， >0恒成立，則 ，

　　令 ,    ；

　�。�6）函數(shù) 在 上是增函數(shù)，求 的取值范圍．

　　解：令 ，函數(shù) 在 上是增函數(shù)，∴ 在 上是增函數(shù)， ，∴ 且 在 上恒成立，得 ．

　�。�7）若函數(shù) 在(-∞,+∞)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是(    )

　　解： 》0恒成立，則 設(shè)t=cosx,即 ；

　　當(dāng)t=0時，不等式顯然成立；

　　則 。方法二：(acosx)min=-|a|， 。

　�。�8）f(x)= +alnx,對于任意的 > , 成立，求a的取值范圍。

　　解:定義域x>0, 等價于 ，即 ，

　　令g(x)=f(x)-2x,單調(diào)遞增，則 恒成立，即a》2x-2 ,故 。

　�。�9）f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，對任意的x都有 恒成立，求 值。

　　解：令 ，則f(t)= .因f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以t=常數(shù)，即 恒為常數(shù)，則取x=t,即 。求得t=1,故t= + = +1=1，所以 =0